WisFaq!

Re: Somreeks breuken

wel er is gegeven dat deze som de ondersom is, en dus inderdaad voor n gaande naar oneindig levert dat de integraal zelf op; alleen Ik dacht dat je eerst een uitdrukking moest hebben voor de som om er dan de limiet van te nemen

Maar de benadering die je geeft lijkt wel goed te zijn, aangezien ik al (door de ondersom is uit te zetten voor een voorbeeld n , en voorbeeldpartitie) bekomen had dat de functie f:[1,2] naar R :f(x)=1/x voldoet

dus bedankt voor je antwoord!

Nele Lejon
6-5-2007

Antwoord

andere reactie: nu vraag ik me eigenlijk wel af wat je bedoelt me die term g en waarvoor staat O(1/n).
Voor de rest is je benadering idd bruikbaar omdat dit in de oefening gegeven was dat het een ondersom is, en we de functie moesten zoeken waarvoor het dat klopt.

en door die ondersom is uit te schrijven voor een bepaalde n en gekozen partitie, kwam ik inderdaad ook dat f(x)=1/x voldoet


-----------------

De g was ik inderdaad vergeten te vermelden, die staat voor de constante van Euler (niet te verwarren met het getal van Euler), gelijk aan 0.5772...

De O(1/n) betekent het volgende:
H(n)-ln(n)-g=O(1/n)
dan bestaat er een constante C zodat
| H(n)-ln(n)-g | C/n
Vermits C constant is, gaat het rechterlid naar nul als n naar oneindig gaat, en gaat dus ook het linkerlid naar nul, dus geldt dat lim(H(n)-ln(n)) = g


De integraal die je geeft leidt inderdaad naar de somreeks: als je de partitie in n gelijke stukken van het interval [1,2] bekijkt, is de bovensom gelijk aan de som van 1/n * 1/(1+k/n) voor k gaande van 0 tot n-1, en de bovensom is gelijk aan de som van 1/n * 1/(1+(k+1)/n) voor k gaande van 0 tot n-1.

Dus je antwoord klopt (alleen even nakijken: ik denk dat k moet lopen van 0 tot n-1 of van 1 tot n...)

Groeten,
Christophe.

Christophe
11-5-2007