WisFaq!

Reden functieverloop

Ik ga binnenkort informatica studeren en ben hiertoe de wiskunde van het ASO ah herhalen. Bij het bekijken van de exponentiële functie vroeg ik me af hoe het functieverloop zou zijn van f(x)=(-1)^x en ontdekte al proberend (matlab) dat(-1)^x = cos(px) + sin(px)i.

Mijn vraag is simpelweg : wat is daar de achterliggende reden van? De functie (1)^x is gewoon een lijn. Ik snap dat het verloop moet gaan van 1 naar -1 bij f(x)=(-1)^x, maar waarom juist volgens een goniometrische functie ?

Veel dank! Peter

Peter Helsen
4-5-2007

Antwoord

Machtsverheffen gaat in stappen: aⁿ voor natuurlijke getallen definieren is geen probleem, voor negatieve getallen daarna ook niet: a^-n=1/aⁿ.
Voor rationale getallen (breuken) wordt het lastiger, bijvoorbeeld a^1/2 moet wel wortel(a) zijn om de optelregel voor exponenten in stand te houden; dan moet a dus wel postief zijn, anders gaat dat niet. Daarom wordt bij gewone (reele) exponentiele functies het grondtal altijd positief genomen.
Als in aanraking met complexe getallen komt lijk je weer wat vrijheid te krijgen, immers er is ineens een getal, i, waarvan het kwadraat -1 is. Je zou dan (-1)^1/2=i kunnen stellen en zo doorrekenen, dat geeft twee problemen: waarom niet -i gekozen? En wat doe je met andere breuken 1/n? De vergelijking zⁿ=-1 heeft namelijk n complexe oplossingen en welke van die n nou (-1)^1/n moet zijn is niet duidelijk.
Het kan ook anders: voor zuiver imaginaire getallen geldt e^iy = cos(y)+i*sin(y) (dat volgt als je iy in de Taylorreeks van de e-macht stopt. Dan volgt dat -1=e^ip en dat kun je gebruiken om af te spreken dat (-1)^x=e^ipx = cos(px)+i*sin(px). Dit is niet de enige keuze want voor elk oneven geheel getal k geldt e^ikp=-1 en daarmee krijg je oneindig veel mogelijkheden om (-1)^x af te spreken. Het komt dus allemaal uit de formule voor e^iy vandaan.

Zie Machtsverheffen voor gevorderden [http://dutiaw37.twi.tudelft.nl/~kp/stukjes-pythagoras/jg45/2006-01/]

kphart
4-5-2007