WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Homothetisch nut

Beste Oscar,

Euhhh het is wel de bedoeling dat ik het alleen oplos, dit is een deel van mijn eind-scriptie. Ik zal antwoord geven of je vragen:
1) Klopt
2) Klopt ook
3) Het maximum geeft het inderdaad het plezier aan, maar dan het plezier van de consumptie van het vermogen
4) Ik heb op zich geen algemene oplossing nodig. Ik ga het probleem op lossen m.b.v. simulatie
5) Nee ik bedoel echt W_t, hieronder zal ik het duidelijk proberen te maken.
6) Ik heb helaas geen boek, alleen een aantal papers waar ik mijn info uit moet halen. In deze papers wordt echter alleen gezegd dat omdat het nut homothetisch in het vermogen is, het vermogen genormaliseerd kan worden.

Goed, aangezien de vraag een stuk ingewikkelder is geworden dan ik had verwacht zal ik proberen uit te leggen waarom ik W_t graag tot 1 zou willen normaliseren.

Een dynamisch optimaliseringsprobleem zoals deze wordt altijd van achter naar voren opgelost met behulp van zogenoemde value functions. Deze value functies zijn als volgt gedefinieerd:
V_t=max (over c_t en x_t) U(c_tW_t+bE(V_t+1)

Hierdoor heb je dus te maken met een reeks 1-periode problemen. Nu geldt ook dat op het laatste tijdstip, T, alles geconsumeerd wordt dus:
V_T=U(c_TW_T)=U(c_TW_T)=U(W_T)
En zo ga je door tot aan het begin.

Om iedere keer het maximum te vinden kies ik een grid voor x en c en zoek die x en c waarbij de value functie het grootst is. Echter zoals al eerder gezegd geldt:
W_t+1=(1-c_t)W_t(x_tR^e+R^f)+X_t+1.
Hiervoor is echter weer W_t nodig en die weet je niet.

Dit kun je op 2 manieren oplossen:
1) Een grid voor W_t kiezen en daar ook weer het maximum voor te kiezen. Hierbij weet ik echter niet hoe ik het grid moet bepalen, want het vermogen kan heel groot, maar ook heel klein zijn. Dat ligt maar net aan de behaalde beleggingsresultaten in voorgaande periodes. Als ik het grid erg groot kies dan wordt mijn programma natuurlijk erg traag en is het bijna niet meer haalbaar om het probleem op te lossen.

2) De tweede optie is dus om het huidige vermogen W_t uit de beperking te laten vallen. Dit klinkt natuurlijk heel aannemelijk, maar ik weet niet precies waarom het kan. Verder lijkt het in mijn geval, met arbeidsinkomen, niet goed te gaan. Daarom wilde ik graag weten wat die homothetie inhoudt en waarom je W_t dus kunt normaliseren.

Zo, het is een heel verhaal geworden, maar inmiddels weet ik dat ik beter te veel kan opschrijven dan te weinig ;).

Groet,
Gerda

N.b. een van de papers die ik gebruik is:

Jump to the Navigation Bar
A Simulation Approach to Dynamic Portfolio Choice with an Application to Learning About Return Predictability
van Brandt et. al.

Gerda
3-5-2007

Antwoord

Beste Gerda,

Daar ben ik weer. Het blijkt dus te gaan om een optimalisatie in veel dimensies. Daar heb ik nou weer wel ervaring mee. Ik zie nog steeds niet dat er hier veel te normaliseren valt, maar ik weer wel dat er veel efficientere methoden zijn dan een grid search. Google maar eens: "steepest decent"

Maar, de reden dat ik je zo snel schrijf is dat het probleem zoals je dat nu formuleert uiteindelijk toch vrij simpel op te lossen is. Misschien heb ik wat over het hoofd gezien of wil je je model aanpassen. Maar ik ben heel benieuwd wat je hier van vindt:

Als ik om te beginnen naar de x_t kijk, dan zie ik dat die alleen maar een positief effect hebben. Als ik een x_t iets groter kies, zonder verder iets te veranderen, dan wordt W_t+1 groter en daarmee ook alle ander W_s met st. In het optimum zullen dus sowieso alle x_t gelijk zijn aan 1. De reden hiervoor is dat risicovolle inversteringen in jouw model altijd meer opbrengen (voor zover ik kan zien dan). Hierdoor wordt de recursievergelijking: W_t+1 = aW_t+b-c_tW_t met a = x_tR^e+R^f en b = X_t. Voor de eenvoud neem ik aan dat het inkomen niet verandert, hoewel dat voor de oplossing uiteindelijk niet veel uitmaakt. Ik heb de formule iets aangepast omdat volgens mij je nieuwe vermogen je oude vermogen plus verdienste min uitgaven is.

De volgende stap is: de nutsfunctie met behulp van W_t te definieren ipv c_t. Immers c_tW_t = aW_t+b-W_t+1. Dus kan ik nu zoeken naar het maximum van de functie: åb^t(aW_t+b-W_t+1)^1-g
Dat wil zeggen. Ik kan onderzoeken voor welke waardes van W_t het resultaat maximaal is. Met die waardes kan ik dan later weer de c_t berekenen. Om dat maximum te zoeken ga ik differentieren naar alle W_t's. Dat is vrij eenvoudig omdat iedere W_t in hoogstens 2 termen voorkomt. Ik krijg: 0 = b^t(aW_t+b-W_t+1)^-g*a - b^t-1(aW_t-1+b-W_t)^-g
Dus: (a*b)^g*(aW_t+b-W_t+1) = aW_t-1+b-W_t
En tenslotte: W_t+1 = aW_t+b-(aW_t-1+b-W_t)/(a*b)^g

Dit kan nog wat eenvoudiger, maar ik laat het even staan. Je doet nu het volgende. Je neemt W₀ het beginvermogen en voor W₁ een lagere waarde. Dan kun je met de bovenstaande vgl W₂, vervolgens W₃, enz. De enige voorwaarde die je nog overhebt is dat de laatste W_t gelijk moet zijn aan nul. Immers, je hebt het meest van je vermogen geprofiteert als het aan het eind op is. Als dat niet uitkomt verander je de waarde van W₁. Dit is dus de enige parameter waarvoor je nog een (grid) search moet uitvoeren.

os
4-5-2007