WisFaq!

Inhoud hyperboloide

Voor een praktijkwerkstuk moet ik de inhoud bepalen van een hyperbolische hoorn met de volgende vergelijking: R(y)=R0·COSH(m·y).
Deze hoorn zou (theoretisch) horizontaal beginnen bij de y-as en een lengte L hebben, R0=r en R(y)=R. Als omwentelings-as wordt de x-as gebruikt.

Is er een (eenvoudige) wijze om het volume van hyperboloides te bereken (zoals bijvoorbeeld het volume van een paraboloide wordt berekend met de formule: V=0.5·PI·r2·h).

M.vr.gr.
SB

SB
2-5-2007

Antwoord

Wat ik niet helemaal snap, is dat het lijkt alsof je hier met 3 variabelen werkt, namelijk met R, met y en met x.
Maar ik ga er maar even vanuit dat je bedoelt een vergelijking:
R(x)=R₀.cosh(mx)

en dat we de inhoud van het omwentelingslichaam willen weten op het interval 0 tot x.

I= pòR²(x)dx
= pòR₀².cosh²(mx)dx = pR₀²òcosh²(mx)dx

Het lastige is nu om de cosh²(mx) te primitiveren
cosh(mx)=¹/₂(e^mx+x^-mx)
dus cosh²(mx)=¹/₄(e^2mx + 2 + x^-2mx)
hieruit volgt dat
òcosh²(mx)dx = ò¹/₄(e^2mx + 2 + x^-2mx)dx
= [¹/₄((1/2m)*e^2mx + 2x - (1/2m)*e^-2mx)]
= [¹/₄((1/2m)(e^2mx-e^-2mx) + 2x)]
= [¹/₄((1/m)sinh(2mx)+2x)]
= (1/4m)sinh(2mx)+¹/₂x

dus I(x)= pR₀².{(1/4m)sinh(2mx)+¹/₂x}

groeten,
martijn

mg
3-5-2007