WisFaq!

Driehoekprobleem

Hallo Wisfaq team,

Een driehoek ABC is gegeven: A(-1,-1);B(1,5) en C(7,-3)
Door het midden M van |BC| tekent men een evenwijdige met de binnenbissectrtice getrokken vanuit hoek A. Deze evenwijdige snijdt |AB| in N.
Bewijs:|BN|=(|AB|+|AC|)/2.
Graag een oplossing aub
Groeten

Rik Lemmens
26-4-2007

Antwoord

Beste Rik,

Dit blijkt te kloppen voor alle driehoeken! Het is eenvoudiger om dat te bewijzen dan om BN voor dit concrete geval uit te rekenen. Voor een gelijkbenige driehoek loopt de bissectrice gewoon door M. Dus N = A en |BN|=|BA| en dat is voor een gelijkbenige driehoek weer gelijke aan (|AB|+|AC|)/2. Ook voor een rechthoekige driehoek is redelijk eenvoudig te controleren dat het klopt.

Maar nu het algemene geval. Het bewijs kun je makkelijker vinden als je de driehoek op zijn kant legt met de bissectrice horizontaal. MN is dan ook horizontaal. Je moet dus uitzoeken wat het hoogteverschil tussen de bissectrice en MN. Het stukje BN moet vervolgens gelijk blijken te zijn aan het lengteverschil tussen AB en AC.

Kom je er zo uit. Groet. Oscar

Toevoeging van Anneke: je kunt ook C spiegelen in de buitenbissectrice van A. Dan is MN de middelevenredige van driehoek BCC'

os
27-4-2007