WisFaq!

Ergodische theorie

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende vraagstuk oplossen:
Door te reduceren naar het geval voor d=1, laat zien dat iedere "rotatie" x-x+a van de torus T^d=R^d/Z^d (R de reële, Z de gehele getallen) measure preserving is, voor iedere a in R^d.

Measure-preserving
Ik heb een sigma-eindige maatruimte (X,M,u) samen met een afbeelding t:X-X, en t voldoet aan de volgende eigenschappen:
1.Als E een meetbare deelverzameling is van X, dan is
t^(-1)(E) dat ook.Ik noteer voor het gemak de inverse van t als t'
2.u(t'(E))=u(E).

en t'(E)=(x in X: t(x) in E)
Een afbeelding t met deze eigenschappen noemen we een measure-preserving transformation.

In mijn geval is X=T^d=R^d/Z^d.
Om eigenschap 1 te bewijzen moet ik laten zien dat t'(E) meetbaar is.Moet ik hier gewoon de definitie van meetbaarheid gebruiken of gaat het bewijs anders, is er een bepaalde theorie of stelling waarmee ik de meetbaarheid kan aantonen?

Om eigenschap 2 te bewijzen moet ik eerst weten wat hier de maat u is.Het lukt mij niet om hier achter te komen, maar ik heb een voorbeeld, allen begrijp ik deze ook niet goed:

voorbeeld
Zij X de eenheidscirkel, gegeven als R/Z, met de maat geïnduceerd door de Lebesguemaat op R.Dat is, we kunnen X beschouwen als de eenheidsinterval (0,1], en u is de Leb. maat beperkt tot deze interval.Voor ieder a in R, is de translatie x-x+a, modulo Z genomen, welgedefinieerd op X=R/Z en u is measure-preserving.

Groeten,

Viky

viky
23-4-2007

Antwoord

Beste Viky,

Helaas. Het blijkt dat wij niet zo snel mensen beschikbaar hebben die dit uit hun mouw schudden. Ook ik weet hier niet veel van. Maar, laat ik in ieder geval eens proberen met je mee te denken.

Even denken over de torus en de afbeelding. voor d=1 is de torus natuurlijk een ring. voor d=2 een echte torus. die stel ik me wel graag voor als een vierkant met identieke kopieen eromheen. op die manier zie ik t(x)=x+a ook gewoon graag als een translatie. Maar goed, dit is bekend.

Is je M in (X,M,u) de machtsverzameling. Dan lijkt me eigenschap 1) nog redelijk eenvoudig. Immers, M bevat dan alle deelverzamelingen van X. Als E zo'n deelverzameling is, is t(E)=E+a dat toch ook?

Maar dan over eigenschap 2) Ik ben helaas een maten-analfabeet. Maar als t hier measure-preserving is impliceert dat in leken-termen dat je maat translatieinvariant is. b.v. voor d=1 dat u([0.1,0.2])=u([0.4,0.5]). En dat voor elke mogelijk maat. Is dat inderdaad zo?

Al met al denk ik dat we de meest essentiele zaken zo wel te pakken hebben. Maar ik kan me best vergissen. Het lijkt mij verstandig om eerst het bewijs voor d=1 goed te begrijpen of zelfs gewoon voor R. De overstap naar R/Z en naar hogere dimensies zal dan niet zo'n probleem zijn.

Nou. Ik ben benieuwd wat je hiervan vindt en of we er met jouw kennis en mijn ervaring uit kunnen komen. Groet. Oscar

os
28-4-2007