WisFaq!

Re: Re: Oppervlakte

Dag Oscar ,
Natuurlijk zat ik fout!
We moeten de substitutie : 2x=tg u hanteren
Dan krijgen we bij invullen van de integraal :
I= òòtg²(u) sec³(u)du
I= òsec⁵(u)du-òsec³(u)du
Met de recursieformules die je dan nog moet bewijzen kom je dan op:
òsex^m(u)du=(1/(m-1))sec^(m-2)(u)tg(u)+(m-2/m-1)òsec^(m-2)(u)du
I=1/4sec³(u)tg(u)+3/4òsec³(u)du-òsec^(u)du
I=1/4sec³(u)tg(u)-1/4òsec³du
I=1/4sec³(u)tg(u) -1/4(1/2sec(u)tg(u)+1/2òsec(u)du
I=1/4sec(u)tg(u)-1/8secutgu -1/8(ln(tg(u)+sec(u) +C

Nu nog de grenzen aanpassen en afwerken:
sec²(u)= 4x²+1 en sec(u)=Ö(1+4x²)
I=1/4 (1+4x²)Ö(1+4x²)-(1/8)2xÖ(1+4x²)-1/8
(ln(2x+Ö(1+4x²)+C

De integraal òsec(u)du kan opgeloste worden met
teller en noemer te vermenigvuldigen met (secu +tgu)
en dan bekomt men:
ò((sec²(u)+sec(u)tg(u))du/(sec(u)+tg(u))
=òd((tg(u)+sec(u))/sec(u)+tg(u)
=ln(tg(u)+sec(u)
Toch wel een moeilijk geval.
De recursieformuiles worden dan gezocht met partiële integratie.
Integralen houden me wel bezig...
Vriendelijke groeten,

Lemmens Rik
23-4-2007

Antwoord

Beste Rik,

Geheel de juiste aanpak. Moest er nog wel een paar kleinigheden uithalen. Uiteindelijk wordt het dus:

8òx²Ö(1+4x²)dx = òsec⁵(u)-sec³(u)du
= ¹/₄sec³(u)tg(u) -¹/₈sec(u)tg(u) - ¹/₈ln(tg(u)+sec(u)) + C
= ¹/₂x(1+4x²)^1,5 - ¹/₄x(1+4x²)^0,5 - ¹/₈ln(2x+(1+4x²)^0,5) + C

De juistheid is natuurlijk te controleren door weer te differentieren. De vragensteller zal je zeer dankbaar zijn. Groet. Oscar.

os
24-4-2007