WisFaq!

Absoluut Continu

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende aantonen:

(1)Als F(x)=int{f(y)dy}(integraal van a...x) met f (Lebesgue) integreerbaar, dan is F absoluut continu.

Deze feit volgt uit de volgende stelling maar ik weet niet precies hoe ik dat moet bewijzen,

(2)Stelling.Stel dat f (Lebesgue) integreerbaar is op R^d.Dan geldt voor iedere eps0:
Er bestaat een delta0 zodat int{|f|}eps (integraal over E) als m(E)delta.
E is een deelverzameling van R^d.

Zelf heb ik het volgende:
Ik moet dus aantonen dat F AC is, ik moet dus het volgende aantonen: voor iedere eps0 bestaat er een delta0 zodat als som{(b_k-a_k)delta dan som{|F(b_k)-F(a_k)|}eps.De sommen lopen van k=1...N.De intervallen (a_k,b_k) zijn disjunct.

Bewijs
Neem aan dat F(x)=int{f(y)dy} met f Leb. integreerbaar.Nu volgt uit (2) dat er voor ieder eps0 er een delta0 bestaat zodat int{|f|}eps als m(E)delta.
Maar hoe moet ik nu verder?

Groeten,

Viky

viky
18-4-2007

Antwoord

Je bent er eigenlijk al; de delta die je hebt werkt: stel som(b_k-a_k)delta, dat betekent hetzelfde als m(E)delta, waarbij E de vereniging van de intervallen [a_k,b_k] is. Dus is de integraal van |f| over E kleiner dan epsilon; die integraal is weer de som van de integralen van |f| over de intervallen [a_k,b_k]. Tenslotte geldt voor elke k dat |F(b_k)-F(a_k)| (dat is de absolute waarde van integraal van f over [a_k,b_k]) kleiner dan of gelijk is aan de integraal van |F| over [a_k,b_k]. Dus som (|F(b_k)-F(a_k)|) is kleiner dan epsilon.

kphart
19-4-2007