WisFaq!

Re: Re: Surface area

Geachte Oscar,

kan ik u nog een vraag stellen omtrent oppervlakte omwentelingslichaam y=e^x, (0$\leq$x$\leq$1), om de x-as.
U had opgave 1 uitgewerkt, volgens u moest ik dezelfde methode gebruiken als bij opgave 1, die u heeft uitwerkt.
hier kwam ik niet meer uit, maar heb hem op een andere manier uitgewerkt:
s=2$\pi \int{}$e^x√(1+e²x)dx.
heb e^x= tan u genomen
tan u du = sec²u du.
hieruit volgt: 2$\pi \int{}$√(1+tan²u)· sec² u du.
$\to$sec³u du
$\to\pi$[sec[u]tan[u]+ ln[sec[u]+tan[u] met bovengrens x=1 en ondergrens x=0.
getallen invullen levert op:
s = $\pi$[e√(1+e²) + ln[√(1+e²) + e]-√2 - ln[√(2)+1]
$\to\pi$[e√(1+e²) - √(2) + ln[((√1+e²)+ e)/(√(2) + 1).
volgens docent was de uitwerking goed, maar moet ik deze opgave oplossen zonder gebruik te maken van sec en via uw methode kom ik er niet uit?
kunt u mij helpen?

bij voorbaat dank

gr.
moos

moos
16-4-2007

Antwoord

Beste Moos,

Met substitutie: u=e^x en dus: du = e^xdx vind je: e^x√(1+e^2x)dx=√(1+u²)du. De twee integranten zijn dus hetzelfde!

Maar (dat was hier ook al gebleken) er zijn twee verschillende manieren om deze integraal uit te werken:

1) met u=sinh(z) en du = cosh(z)dz
2√(1+u²)du = 2cosh²(z)dz = cosh(2z)+1 dz
= d(¹/₂sinh(2z)+ z) = d(sinh(z)cosh(z)+ z) = d(u√(1+u²)+arcsinh(u))

2) maar met u = tan(z) en du=sec²(z)dz
2√(1+u²)du = 2sec³(z)dz = d(sin(z)sec²(z)+ln(tan(z)+sec(z)))
= d(tan(z)sec(z)+ln(tan(z)+sec(z))) = d(u√(1+u²)+ln(u+√(1+u²))

Het verbaasde me dat je zowel zowel een goniometrische als een hyperbolische functie kon gebruiken. De oplossing lijkt ook anders. Maar met wat gerommel toon je aan dat inderdaad: arcsinh(u) = ln(u+√(1+u²)

En dan nog een suggestie van een collega:
3) Als je nog een alternatief zoekt voor die sec₃x, via subtitutie en breuksplitsen als volgt:
sec³x dx = cos(x)/(cos²x)2 dx = cos(x)/(1-sin²x)² dx = dy/(1-y²)²...

Beantwoord dit je vraag? Groet. Oscar

PS1: Ik bluf een beetje want ik zie niet zo goed hoe je sec³(z) integreert. Een collega van mij kwam hier wel op een natuurlijke manier op. Maar ik ben de aantekening kwijt. Hoe kwam jij erop?

PS2: Je ziet dat het een enorm gepruts is om een integraal uit te werken. Soms ligt een bepaalde substitutie voor de hand. Soms gok je maar wat. Als je het resultaat kunt integreren had je gelijk. En belangrijk: in tegenstelling tot differentieren is niet elke functie te integreren.

os
17-4-2007