WisFaq!

Buigpunt snel bepalen van rationale functie

Is er een snellere manier om een buigpunt te vinden van een rationale functie dan tweemaal de quotiëntregel toe te passen en vervolgens de teller van de zo onstane breuk op nul te stellen? Deze vraag is n.a.v. het toelatingsexamen voor (tand)arts in België. De vraag luidt: gegeven de rationale functie f: x®y(x) = (2x²-3x-4)/(x²-5x+1). Keuze uit vier antwoorden: A heeft de rechte y = 2 als asymptoot. B heeft een verticale asymptoot. C heeft een schuine asymptoot en D vertoont een buigpunt. De vraag is welke bewering NIET juist is. A en B zijn juist. C is ook direct te zien dat deze niet juist is maar het controleren van D via tweemaal toepassen van de quotiëntregel kost (te) veel tijd. D blijkt inderdaad juist te zijn. Of is er geen snellere manier en gaat het hierbij om het inzicht dat C onjuist is en dat je dus NIET gaat rekenen aan D?

Lonneke Boels
11-4-2007

Antwoord

Ik denk dat het om het inzicht gaat dat C niet juist is.
Afgezien daarvan wordt bij D alleen om de al dan niet existentie van een buigpunt gevraagd. Er zijn wel een aantal manieren om de existentie van dit buigpunt te bepalen zonder nu direct twee keer te differentieren.
Bijv: f '(x)=-(7x²-12x+23)/(x²-5x+1)².
7x²-12x+23 is definiet positief.
Tussen de nulpunten van de noemer is f'(x) dus altijd negatief, f dus dalend. Tussen de nulpunten van de noemer zijn f en f' continu.
Voor x nadert van boven tot het linker nulpunt van de noemer nadert f' tot -¥
Voor x nadert van onder tot het rechter nulpunt van de noemer nadert f' ook tot -¥.
Conclusie f' heeft een maximum en f dus een buigpunt.

hk
11-4-2007