WisFaq!

Re: Formule van de gulden snede en de rij van Fibonacci

Beste Oscar,

Ik ben begonnen met het (proberen te) oplossen van de eerder genoemde vergelijking. Ook heb ik het gecontroleerd met getallenvoorbeelden.

Ik heb nu een aantal stappen:

(((1+√5)ⁿ - (1-√5)ⁿ) / (2ⁿ·√5)) / (((1+√5)^n-1 - (1-√5)^n-1) / (2^n-1·√5))

is gelijk aan:

(((1+√5)ⁿ - (1-√5)ⁿ) / (2ⁿ·√5)) · ((2^n-1·√5) / ((1+√5)^n-1 - (1-√5)^n-1))

is te vereenvoudigen naar:

(((1+√5)ⁿ - (1-√5)ⁿ) / 2) · (1 / ((1+√5)^n-1 - (1-√5)^n-1))

is samen te voegen naar:

((1+√5)ⁿ - (1-√5)ⁿ) / 2 · ((1+√5)^n-1)

Maar hier loop ik vast. Ik kom nog net niet uit op (1+√5)/2

Heb ik het tot nu toe goed gedaan?
Hoe moet ik verder?

Groetjes,
Ayla

Ayla
9-4-2007

Antwoord

Nou Ayla,

Je zegt dat je getallenvoorbeelden hebt uitgeprobeerd, maar dan had je toch meteen moeten zien dat er iets niet klopt met de stelling die je probeert te bewijzen?

Je hebt: F(n) = ((1+√5)ⁿ-(1-√5)ⁿ)/(2ⁿ√5)

En je wilt bewijzen: F(n)/F(n-1) = (1+√5)/2

Ik vind:
F(0) = (1-1)/(√5) = 0
F(1) = ((1+√5)-(1-√5))/(2√5)=1
F(2) = ((1+√5)²-(1-√5)²)/(4√5) = ((3+2√5)-(3-2√5))/(4√5)=1
(niet verbazingwekkend voor de rij van Fibonacci)

Vervolgens: F(1)/F(0) kan niet, maar: F(2)/F(1) = 1.
In ieder geval vind ik niet F(n)/F(n-1) = (1+√5)/2
Dus: jouw stelling kan niet kloppen. Het heeft dus geen zin te proberen hem alsnog te bewijzen. Kijk nog eens goed welke stelling je wel wilt bewijzen.

os
9-4-2007