WisFaq!

Oppervlakte omwentelingslichaam

Beste mensen,

Ik heb een vraagje over een de volgende vraagstelling:
gevraagd: Oppervlakte omwentelingslichaam
functie: y=sin x, (0xp), om de x-as.
gebruikmaking van formule: s=ò2pf(x)Ö(1+[f`(x)]<sup>2</sup>) dx.
uitwerking:
f(x)= sinx
f`(x)= cos x
hieruit volgt s= 2p₀ò^psinx Ö[1+cos²[x]]dx.
uitwerking:
u=1+cos²[x]
du=-2cos[x]sin[x]
'compenseren' met -1/2cosx·du
hieruit volgt met dezelfde grenzen ò-1/2cos[x]·Ö[u], hierna kom ik niet meer verder.

Met de uitwerking van maple kan ik ook niet terugrekenen.
maple geeft een complexe uitwerking?

bij voorbaat dank.

gr.

moos
6-4-2007

Antwoord

!! zo, nu klopt het antwoord !! (geloof ik)

Beste Moos,

Het ligt meer voor de hand om te substitueren met u = cosx. Dan wordt het deel onder de wortel eenvoudiger terwijl het deel buiten de wortel verdwijnt. Je krijgt dan 2pò_{u van -1 tot 1}Ö(1+u²)du.

De primitieve van Ö(1+u²) vind je door nogmaals te substitueren:
u = sinh(z), du = cosh(z)dz

òÖ(1+u²)du = òÖ(1+sinh(z)²)cosh(z)dz = òcosh(z)²dz = ò(cosh(2z)+1)/2dz
= [sinh(2z)/4+z/2] = [sinh(z)cosh(z)+z]/2 = [uÖ(1+u²)+arcsinh(u)]/2

Het antwoord resultaat kun je controleren door te differentieren. Tenslotte:
2pò_{u van -1 tot 1}Ö(1+u²)du = p[uÖ(1+u²)+arcsinh(u)]_{u van -1 tot 1}
= 2p(Ö2+arcsinh(1)) = 14,4236

Groet,
Oscar

os
8-4-2007