WisFaq!

Recursieve formule en oplossen

(d.v.=afkorting differentiaal vergelijking)
(=delta)

opdr:
maak van de formule F(t+t)=F(t)+(40-0,5F(t)).t een d.v. en los die op. herleid de oplossing tot F(t)=80-Ce^-0,5t

ik zal dit oplossen voor zover ik het begrijp:
(F(t+t))-(F(t)))/t = 40-0,5F(t)
dF/dt=40-0,5F
dF)=(40-0,5F).dt
dF/(40-0,5F)=dt
1/(40-0,5F).dF=dt
nu hebben we de variabelen gescheiden en moeten we dit gaan primitiveren, vanaf hier snap ik het dus helemaal niet meer, vooral doordat ik lessen gemist heb.
ik zal nu de rest van de uitwerking uit het antw.boek overnemen, misschien kunnen jullie me uitleggen, hoe en waarom de rest van de uitwerking zo wordt gemaakt?
-2ln|40-½F|=t+C'
(hier snap ik niet waarom -2 en waarom =t+C')

en vanaf hier begrijp ik het helemaal niet meer:
ln|40-0,5F|=-½t+c"
40-0,5F=e^(-½t+C")
=e^-½t.e^C" (kbegrijp hoe ze v/d vorige naar deze gingen)
=e^-½t.C"'
F=80-Ce^-½t

dat was mijn vraag, alvast heel erg bedanktvoor het beantwoorden!

anne zwart
28-10-2002

Antwoord

Hoi,

Ik veronderstel dat je weet:
òdt = t+c
òdx/x=ln(x)+c'
(met c en c' telkens een zekere reële constante)
Die constante komt erbij omdat de afgeleide van een constante 0 is. Met de afgeleide alleen kunnen we dus de originele functie enkel op een constante term na bepalen.

We substitueren x=40-0.5F dus: dx=-0.5dF en dF=-2dx
Zodat òdF/(40-0.5F)=ò(-2dx)/x=-2òdx/x=-2ln(x)-2c'=-2ln(x)+c'' (met c'' weer een andere reële constante).

Als je dan bijvoorbeeld weet wat F is voor t=0, dan kan je de verschillende constanten bepalen. Praktisch zal enkel de laatste je interesseren.

Groetjes,
Johan

andros
28-10-2002