WisFaq!

Limiet

Ik moet de volgende stelling bewijzen:

Als lim n®¥ a_n=A en lim n®¥b_n=B, dan is lim n®¥ (a_nb_n) = AB.

Begin:
Neem e0 willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een NÎ bestaat, zodanig dat voor alle nN geldt: |(a_nb_n) - (AB)| e.

Maar nu?

Tjen
3-4-2007

Antwoord

De aanpak is dat je een e_a en e_b kiest zodat als |a_n-A|e_a en |b_n-B|e_b ook geldt |a_nb_n-AB|e. Die eerste twee geven de gevraagde N.

Voor b.v. de limiet van a_n+b_n werkt deze aanpak vrij simpel. Voor a_nb_n is het een stuk moeilijker.

Maar met: |a_nb_n-AB| 2(|a_n-A|.|B|+|A|.|b_n-B|) moet het lukken.

Wel even bewijzen dat dit geldt (voor |a_n-A||A| en |b_n-B||B|)

os
3-4-2007