WisFaq!

Re: Lineaire onafhankelijkheid

Hoi Oscar,

bedankt voor de snelle reply:

Ik heb dus uwe methode gebruikt en ik vermoed (lees: hoop) dat ik het gevonden heb (het antwoord is dimensie 3)
I.v.m. de "het kan sneller methode"

Na het oplossen van de 5x₅ stelsel heb ik de volgende resultaat verkregen:

x₁= -8/4 s
x₂= -133/665 t
x₃= -s + 133/665 t
x₄= s
x₅= t

Ik zie dat x₁, x₂, x₃ afhankelijk zijn van de parameters s en t.
Mag ik nu ook hieruit rechtstreeks besluiten dat de dimensie 3 is.

bedankt voor alles,

jeffrey

jeffrey
27-3-2007

Antwoord

Als dit de hele oplossing is wel. Maar, ik vind het nu wel leuk om het ook echt concreter te maken. Dat illustreert de elegantie van de lineaire algebra. Maar het helpt ook om je antwoord te controleren.

Met x_n de coefficienten en a_n de vectoren schrijf je de verglijking die jij hebt opgelost als:
x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ + x₄a₄ + x₅a₅ = 0

met s=1 en t=0 vindt je: -8/4a₁-a₃+a₄=0
oftewijl: a₄=8/4a₁+a₃ (je kunt simpel controleren of dit klopt)

en analoog met s=0 en t=1: a₅=-133/665a₂+133/665a₃

Nu kun je niet alleen constateren dat de dimensie (hoogstens) drie is, maar ook dat a₁, a₂ en a₃ een basis vormen.

Vervolgens kijk je naar de vergelijking: x₁a₁ + x₂a₂ + x₃a₃ = 0

Met jouw oplossing zie je dan meteen dat s = 0 en t = 0 en dus dat alle coefficienten nul zijn. Dus de basis a₁, a₂ en a₃ is onafhankelijk. (persoonlijk zou ik dit nog wel willen controleren door de 3x4 vgl op te lossen)

os
27-3-2007