WisFaq!

Machten van de gulden snede

Hallo, ik ben druk bezig met een werkstuk over de gulden snede (wauw, anders zou ik jullie niet mailen ), en ik zit met een klein probleempje. Ik moet (in een deelvraag) de machten van de gulden snede uitdrukken in functie van de gulden snede.

Ik denk dat ik al een begin van het antwoord gevonden heb, maar ik ben niet zeker. Op een site, waar ze het bewijs van de formule van Binet bespreken, schrijven ze op een bepaald moment:

Op grond van p² - p - 1 = 0 waaruit volgt dat p² = p + 1 hebben we
p^3 = p² + p = p + 1 + p = 2p + 1
p^4 = 2p² + p = 2(p + 1) + p = 3p + 2
p^5 = 3p² + 2p = 3(p + 1) + 2p = 5p + 3
p^6 = 5p² + 3p = 5(p + 1) + 3p = 8p + 5
...

Ik vrees echter dat ik er JUST NIKS van snap! Kunnen jullie me alsjeblief zo goed en zo kwaad mogelijk uitleggen wat ze hier allemaal doen, of waar ik misschien een antwoord kan vinden op mijn vraag!

Mercikes bij voorbaat,

Inge
27-10-2002

Antwoord

Door consequent de opeenvolgende machten van p te berekenen, zou je het antwoord op je vraag kunnen vinden. Maar omdat p niet zo'n heel prettig getal is, is dat machtsverheffen niet erg lollig om te doen. En daar komt dan de truc die je gevonden hebt om de hoek kijken.
Het getal p is voortgekomen uit de vergelijking p² - p -1 = 0 en dat betekent dat het getal p aan deze vergelijking voldoet! Dús geldt p² = p + 1. En omdat je p weet (gewoon éénmalig de tweedegraadsvergelijking oplossen), weet je óók p + 1 en dús p².

Nu overstappen naar p³.

Omdat p³ = p.p², kun je nu schrijven: p³ = p.(p + 1) = p² + p = (p + 1) + p = 2p + 1. De vervanging van p² door (p + 1) was gebaseerd op het begin van de serie.

Nogmaals een macht omhoog: p⁴ = p.p³ = p.(2p + 1) = 2p² + p = 2.(p+1) + p = 2p + 2 + p = 3p + 2 enz.

Ik hoop dat je ziet dat iedere keer wordt teruggegrepen op het voorlaatste resultaaten dan tenslotte weer op het feit dat p² = p + 1.

Merk en passant op dat je deze regels al kunt opschrijven zónder dat je de concrete waarde van p weet. Het is weer eens een van die ingenieuze grapjes waar de wiskunde in uitmunt. In plaats van als een idioot te gaan rekenen, wordt door deze truc alles teruggeworpen op simpele, lineaire verbanden. Je moet er maar op komen!

Zie vraag 1886 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=1886]

MBL
27-10-2002