WisFaq!

Drie vergelijkingen met drie onbekende

Ik zal eerst een indruk geven van de vraagstelling. Een klant kan drie soorten wasmiddelen kopen, A, B en C. Stel dat een klant in periode 0 kiest voor A, wat is dan de kans dat hij over 3 perioden product C kiest. Met behulp van matrix-vermenigvuldiging door te kijken naar de overgangsmatrix lukt dat nog wel. De bijbehorende gegevens zijn als volgt: Als een klant op dit moment voor A kiest, dan is de kans 90% dat hij de volgende keer weer A kiest, 8% dat ie B kiest en 2 % dat ie C kiest. Als een klant nu voor B kiest, dan is de kans 70% dat hij de volgende keer A kiest en 30% dat hij voor B kiest. Een klant die nu C kiest, zal dat met een kans van 98% weer doen, en 1% dat ie voor A kiest, en dus ook 1% voor B.

Nu komt mijn vraag. Hoe kan ik de evenwichtsmarktaandelen die op lange termijn gelden (de zogenaamde steady state kansverdeling) berekenen? Een 2*2 matrix kan ik nog oplossen. Nu echter niet. Ik weet niet goed hoe ik de volgende vergelijkingen moet oplossen:
A = 0.9A + 0.08B + 0.02C
B = 0.7A + 0.3B
C = 0.01A + 0.01B + 0.98C
A + B + C = 1

Kan ik hier uitleg over krijgen? En dan vooral over hoe ik drie vergelijkingen met drie onbekende moet oplossen?

Sander Heussen
26-10-2002

Antwoord

Je kunt het aantal onbekenden direct al terugbrengen tot 2.
Als je namelijk niet begint met de stabiele aantallen A, B en C maar slechts met A, B en 1 - A - B, dan wordt het een stuk simpeler.
Laat je overgangsmatrix dus werken op de kolomvector (A, B, 1 - A - B) en laat er weer dezelfde kolomvector uitkomen.
Probeer het eens en als het toch nog niet lukt dan horen we het wel.

MBL
26-10-2002