WisFaq!

Lineaire algebra vraag

De definitie van een lineaire deelruimte W is dat voor elke vector v en w in W en scalar a in K (met K reele of complexe getallen) moet gelden dat:

(v + w) zit ook in W
a·v zit ook in W

Nu wordt er in mijn dictaat als voorbeeld de vectorruimte van polynomen met coefficienten in K genoemd. Er wordt gezegd dat een lineaire deelruimte de verzameling polynomen met graad hoogstens K.

Tot zover alles duidelijk.

Maar, een regel later staat "De polynomen van graad precies n vormen geen lineaire deelruimte."

Kan iemand uitleggen waarom dat is? Voor zover ik kan zien voldoen polynomen van graad precies n ook aan de twee eisen voor een lineaire deelruimte. Wat is sowieso het verschil tussen "graad precies n" en "graad hoogstens n"?

Sebass van Boxel
20-3-2007

Antwoord

Beste Sebass,

Als de graad hoogstens n mag zijn, dan is graad n-1 ook oké. Bijvoorbeeld, stel n = 3, dan is x³+x²-x+1 zo'n polynoom. Maar hoogstens 3 volstaat, dus ook x²+4x+2 is een polynoom uit die ruimte. Dit zou niet meer het geval zijn als we eisen dat de graad precies n (hier 3) moest zijn.

Terug naar de lineaire deelruimte. Zoals je zegt moet v+w met v,w uit W, zelf ook in W zitten. Kan je dan geen tegenvoorbeeld vinden, als de eis is dat de graad precies n moet zijn? Zoek dus polynomen v en w van graad n, zodat v+w niet meer van graad n is.

mvg,
Tom

td
20-3-2007