WisFaq!

Exponentiele groei koraal verstoord door toeristen

Hallo,
Ik zit met het volgende probleem wat ik voor een opdracht moet maken:

Een koraalrif groeit exponentieel. De algemene differentiaalvergelijking voor de groei van het rif heb ik al:
M(t)=Ce^kt

De oplossing van deze differentiaalvergelijking met begin-hoeveelheid 100.000 kg en een jaar later is dit 110.000 geeft:

M(t)=100.000·1,1^t


Ik kom echter niet uit de volgende aanvulling:

Er komen toeristen naar het eiland die per jaar gezamlijk 1000 kg koraal meenemen.
Wat is nu de bijbehorende differentiaalvergelijking?
en: Los de vergelijking op, wederom met beginwaarde van 100.000 kg.

Ik heb verschillende dingen geprobeerd, maar kom er niet uit. Kunnen jullie me helpen?
Alvast bedankt.

Heerko
16-3-2007

Antwoord

de M(t)=Ce^kt is niet zozeer een differentiaalvergelijking, maar een OPLOSSING van een differentiaalvergelijking. (voortaan 'dv')

De bijbehorende dv luidt: dM/dt = k.M
(ofwel de massaverandering in de tijd is rechtevenredig met de reeds aanwezige massa koraal)
oplossen levert: M(t)=C.e^kt
invullen van rvw (1): M(0)=100.000 leidt tot C=100.000
dus M(t)=(100.000).e^kt
tevens geldt dat M(1)=110.000
110.000 = (100.000).e^k.1 Þ k = ln(110.000/100000).
Dus op deze manier kom je uit op de oplossing
M(t)=(100.000).e^k.t = (100.000).(1,1)^t

Nu komen de toeristen erbij:
Dat betekent dat we de oorspronkelijke dv moeten aanpassen.
dM/dt = k.M - 1000
ofwel: per tijdseenheid komt er kM bij en gaat er tevens 1000 AF.
Hoe pak je zo'n dv aan?? dM/dt - kM = -1000
wel, je lost eerst de homogene vergelijking op, en daar tel je een particuliere oplossing bij op.
De homogene vergelijking luidt: dM/dt - kM = 0. De oplossingsgedaante hiervan hadden we al: M_hom(t)=Ce^k.t (met k=ln(1,1))
Een particuliere oplossing is EEN willekeurige oplossing die voldoet aan de gehele dv dM/dt - kM = -1000. één mogelijke oplossing is M_part=1000/k
de gehele oplossing is
M_totaal(t) = M_hom(t) + M_part
= C.e^k.t+1000/k
= C.(1,1)^t+1000/ln(1,1) (merk op dat {1000/ln(1,1)}0 )
Nu mag je em zelf afmaken door dmv M(0)=100.000 de waarde van C te berekenen


groeten,
martijn

mg
17-3-2007