WisFaq!

Re: Mathematische slinger

Beste Martijn,

Je zegt:

"Dit levert:
d2q/dt2 + g/L.q=0

en dit is een differentiaalvergelijking waar je relatief makkelijk wat mee kan.
De algemene oplossing is namelijk:
q(t)=A.sin(w.t)+B.cos(w.t) met w=Ö(g/L)"

Maar hoe kom je hier nou precies aan?

Alvast hartelijke dank,
Steffen

Steffen
12-3-2007

Antwoord

Beste Steffen,

Laten we eerst eens naar een eenvoudige versie kijken van deze 2e orde dv. (2e-orde omdat er ten hoogste een 2e afgeleide in voorkomt)

bijvoorbeeld
d²y/dx² + y = 0

welke oplossingen y(x) voldoen aan deze dv? Dat blijkt ten eerste te zijn:
y=sinx.
want als je dit invult in de dv, dan krijg je -sinx +sinx =0
en welke eveneens voldoet, is y=cosx. immers: invullen levert -cosx +cosx=0

Wat ook een oplossing is, is y=A.sinx+B.cosx
Want vul deze oplossing maar eens in. differentieer je y 2 keer, dan krijg je
-A.sinx -B.cosx. Dus krijg je -A.sinx -B.cosx +A.sinx +B.cosx = 0. klopt dus ook.

Nou nemen we een dv die als 2 druppels water op de vorige lijkt. namelijk:
d²y/dx² + k.y = 0
Nu staat er opeens een factor k voor de y. Wat zijn nu de oplossingen?
Het blijkt dat één van de oplossingen is: y=sin(Ök.x)
Als je dit 1x differentiëert, krijg je dy/dx=Ök.cos(Ök.x)
nogmaals differentiëren, levert:
d²y/dx²=-Ök.Ök.sin(Ök.x) = -k.sin(Ök.x)
oftewel: wanneer je de oplossing y=sin(Ök.x) invult in de dv, krijg je
-k.sin(Ök.x) +k.sin(Ök.x) = 0

Evenzo voor y=cos(Ök.x)

De algemene oplossing is
y=A.sin(Ök.x)+B.cos(Ök.x)
Vul dit zelf maar eens in in de dv en ckeck zelf dat deze oplossing voldoet.

Tot slot de dv waar je vraag over ging:
d²q/dt²+ g/L.q=0
Het gaat erom om een oplossing q(t) te vinden.
Als je deze dv vergelijkt met d²y/dx² + k.y = 0 dan kun je nu begrijpen waarom q(t)=A.sin(Ö(g/L).t)+B.cos(Ö(g/L).t)

groeten,
martijn

mg
12-3-2007