WisFaq!

Differentiaalvergelijking van de 1e orde, zou eenvoudig moeten zijn

dy/dx=x²y³
y(1)=3

Deze wil ik oplossen.

1. ik zet alle y-dingen aan 1 kant en alle x-dingen aan de andere kant:

dy/y³=x²dx

2. beide kanten integrerenzodat zodat dy en dx verdwijnen

-1/(2y²)=((x³)/3) + C

3. C berekenen.
y(1)=3 geeft
(-1/18)=(1/3)+C
C=-7/18

En nu wordt het lastig. Als ik een differentiaal vergelijking moet oplossen dan moet ik altijd iets hebben wat lijkt op

y(x)= *#*#*#

?

Als je heel die regel vermenigvuldigt met 2 dan krijg ik

-1/(y²) =2/(3x²) -7/9

En dan ik ook nog wel links en rechts vermenigvuldigen met -1

1/(y²) = -2/(3x²) + 7/9

Dan lijkt het al net ofdat de Y dichtbij is.

Misschien kan ik nu zeggen dat

1/(y²) = -2/3(x^-2) +9/7)^-1

Gaat het goed zo? En zo ja, wat kan ik nu doen om y weg te krijgen onder die breukstreep?


Als er y² stond dan kon je aan beide kanten de wortel nemen denk ik, maar nu staat er y^-2, het negatieve exponent kan ik niet wegkrijgen.

Ronald
10-3-2007

Antwoord

Dag Ronald,

Je hebt een foutje gemaakt bij de macht van x: die is plots van 3 naar 2 veranderd. Voor de rest was het wel goed, op je laatste formuleregel na: het omgekeerde van een som is niet de som van de omgekeerden! Dus hoe die 7/9 plots in 9/7 verandert, en die x² die van noemer naar teller springt, daar klopt niet al te veel van...

Je komt dus wel correct op 1/(y²) = -2/(3x³) + 7/9
Neem hiervan nog de wortel, dit geeft
1/y = Ö(-2/(3x³) + 7/9)

(let op: misschien had je een minteken voor de wortel moeten zetten, maar dit blijkt niet zo te zijn als je je randvoorwaarde y(1)=3 nog eens invult)

En dan neem je zowel links als rechts het omgekeerde:

y = 1/(Ö(-2/(3x³) + 7/9))

en zo kom je tot de gewenste vorm y=f(x).

Groeten,
Christophe.

Christophe
10-3-2007