WisFaq!

Modulo (inverse)

Ik kom niet uit de volgende vraag (tis mij wel bekend wat modulo inhoud, dit heb ik gelezen op jullie site!)

1. In 4 heb je 4 restklassen, 0,1,2,3. Schrijf de +- en de x-tabellen op. Ga na dat er bij elk element x een tegengestelde is, dwz. een y met x+y=0. Ga na dat er niet bij elk element x¹0 een inverse is, dwz een y met x´y=1.

2. Laat zien dat in 7 elk element ¹ 0 een inverse(zie vorige opgave) heeft.

Dat rekenen met die inverse begrijp ik niet, alvast bedankt!

g
9-3-2007

Antwoord

Hallo,

Een element (a) heeft een inverse (b) voor een bepaalde bewerking, als het toepassen van de bewerking op a en b, als resultaat het eenheidselement voor die bewerking geeft. Een hele boterham, maar het komt hierop neer:

- Voor plus is het eenheidselement de nul, want ergens nul bij optellen maakt niks uit. Dus in 4 zijn 1 en 3 elkaars inversen voor de optelling want 1+3=4=0. Als je een tabel maakt met horizontaal de elementen 0,1,2,3 en verticaal ook de elementen 0,1,2,3 en je maakt telkens de som van het horizontale en het verticale element, zal je op elke rij en op elke kolom één keer de nul tegenkomen, dus elk element heeft een inverse voor de optelling.

- Voor maal is het eenheidselement de 1, want een getal met 1 vermenigvuldigen verandert dat getal niet. Dus in 4 is 3 de inverse van 3, want 3*3=9=1. Als je ook hier weer een tabel maakt, dan zal je echter zien dat op de rij (of kolom) van de 0 en van de 2, je geen 1 terugvindt. Er bestaat immers geen getal a waarvoor 2*a=1. Dus 2 (en ook 0) heeft geen inverse in 4.

- Als je echter hetzelfde doet voor 7 zal je wel voor elk getal (behalve nul) een inverse vinden (vb 5*3=15=1 dus 5 en 3 zijn elkaars inversen).

Het is trouwens een leuke opgave om na te gaan of elk element (verschillend van nul) een inverse heeft, dat moet je hier dus doen in 4 en 7, maar als je dat eens doet voor 2, 3,... dan zal je waarschijnlijk snel vinden in welke verzamelingen je altijd een inverse kan vinden, en in welke verzamelingen je niet altijd een inverse kan vinden.

Groeten,
Christophe.

Christophe
10-3-2007