WisFaq!

Bewijzen van een verschil rij

Van een strook papier van 14 cm lengte zit de rechtterrand los en is de linkerrand vastgeplakt op de ondergrond. De strook wordt linksom dubbelgevouwen; hierbij verdeelt de vouwlijn de strook in twee gelijke delen. Het bovenste deel wordt rechtsom dubbelgevouwen. Daarna wordt het bovenste deel hiervan weer linksom dubbelgevouwen. Dit proces kan in theorie eindeloos herhaald worden. We willen de limiet van de plaats van de losse rand weten.

De plaats van de losse rand na n keer vouwen noemen we u_n.

De rij u₀, u₁, u₂,..., u_n is gegeven door:

u₀=14
u₁=0
u_n=¹/₂(u_n-1+u_n-2); (n=2,3,4,...)

De rij De rij u₀, u₁, u₂,..., u_n is convergent. Om de limiet van u_n te berekenen, bekijken we de verschilrij v_k=u_k-u_k-1 (k=1,2,3,4,...)

opdracht:

Bewijs dat voor k=2,3,4,... geldt: v_k=-¹/₂v_k-1

eigen denkstappen:

door dit op te lossen met een getallen voorbeeld kom ik ook uit op -¹/₂ als groeifactor, maar dit is niet het bewijs dat dit klopt. Kunt u mij hier mee opweg helpen?

Stijn
8-3-2007

Antwoord

Stijn,
Dat v(k)=-¹/₂v(k-1) heb je ,denk ik,wel kunnen afleiden.Waarom deze v(k) ingevoerd.In de eerste plaats omdat u(0)+v(1)+v(2)+...+v(n)=u(n).Dit kun je eenvoudig aantonen door invullen van v(k)=u(k)-u(k-1),k=1,2...,n in het linkerlid .Verder geldt:v(2)=(-¹/₂)v(1),v(3)=(-¹/₂)v(2)=(-¹/₂)²v(1),enz.Dit invullen geeft dat u(0)+v(1)+...+v(n)=u(0)+v(1)(1+(-¹/₂)+...+(-¹/₂)^n-1).
Dit moet je verder wel kunnen uitwerken.

kn
8-3-2007