WisFaq!

Rij met betrekking tot lijn en parabool

Een aantal vraagjes naar aanleiding van het volgende:
f(x)= 5 - x²
A(3,-4) ligt op f(x).
De rij x(0), x(1), x(2),...x(n) ontstaat als volgt:
- P(0) is een punt op de grafiek van f met x-coordinaat x(0) waarbij -2 x 3
- De lijn P(0)A snijdt de x-as in het punt (x(1),0)
- P(1) is het punt op de parabool met x-coordinaat x(1)
- De lijn P1A snijdt de x-as in het punt (x(2),0)
- enz.

Ik had al aangetoond dat de hellingscoefficient van de lijn P(n)A gelijk is aan -3 - x(n)
Dan zijn mijn vragen:
1. Hoe stel ik van de lijn P(n)A een vergelijking op in x en y en hoe toon ik aan dat x(n+1) = 3 - 4/(x(n)+3) een recurrente betrekking van de rij x(n) is?
2. In stap 1 worden de startwaarden uit het intervzal -2,3 genomen. Hoe onderzoek ik of er buiten dit interval nog andere startwaarden zijn waarvoor de rij x(n) convergeert?

Ik hoop dat u mij spoedig hiermee kunt helpen.

alvast heel erg bedankt,
Maik

Maik
6-3-2007

Antwoord

dag Maik,

Als je van een lijn de hellingscoëfficiënt (m) weet, en je weet een punt (a,b) van de lijn, dan is de vergelijking:
y-b = m·(x-a)
De lijn door Pn en A heeft dus als vergelijking:
y + 4 = (-3 - x(n))·(x - 3)
Om uit de waarde van x(n) die van x(n+1) te vinden, moet je deze lijn snijden met de x-as, ofwel y=0.
Dus in de bovenstaande vergelijking kun je voor y de waarde 0 invullen, en voor x de waarde x(n+1).
Hieruit bereken je x(n+1).
Zie je dat je dan inderdaad de genoemde recurrente betrekking krijgt?
Over je tweede vraag: heb je al een grafiek getekend? Zie je wat er gebeurt met de opeenvolgende x(n)? Wat is er aan de hand als je start links van het linkernulpunt van de functie? Of als je rechts van A start? Wat zijn dus de startwaarden waarvoor de rij convergeert?
succes,

Anneke
6-3-2007