WisFaq!

Deelbaarheid combinatie

Beste Wisfaq,

Ik moet het volgende aantonen:

(p r) is deelbaar door p voor 0rp
((p r) staat voor p boven r)

Ik wilde dit aantonen door dit te schrijven als:

(p r) = p!/(r!(p-r)!)=p(p-1)!/(r!(p-r)!)

dus p is een factor van deze binomiaal coefficient en dus deelt p daarom (p r). Echter mijn probleem is dat als p (p r) deelt dat (p-1)!/(r!(p-r)!) een geheel getal moet zijn en ik niet inzie hoe ik dit aan moet tonen. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Steven Bakker

Steven Bakker
1-3-2007

Antwoord

Die bewering geldt alleen maar wanneeer p een priemgetal is. Als je dan (p r) schrijft als p!/(r!(p-r)!), dan zie je dat er juist één (priem)factor p in de teller ziet, en echter geen priemfactor p in de noemer. Want rp en p-rp dus r! noch (p-r)! zijn deelbaar door p. Dus de gehele breuk is zoals elke combinatie een natuurlijk getal, en deelbaar door p.

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-3-2007