WisFaq!

Pythagoras

We gaan weer uit van 2pq, p²-q² en p² + q². Als p en q een driehoek opleveren, waarvan de rechthoekszijden 1 verschillen, wordt de volgende driehoek met deze eigenschap voort gebracht door q + 2pq en p.

Deze stelling moet ik voor m'n wiskunde po bewijzen, maar moet ik dan nemen:
p = a , q = a+1 ? en hoe zou ik dan verder moeten gaan.
Alvast bedankt, gr Cris

Cris
28-2-2007

Antwoord

Nee, je moet niet p = a, q = a+1 nemen. Het zijn niet p en q die 1 verschillen, maar 2pq en p²-q². De oplossing is gelegen in een methode die inductie heet: Als het eerste paar (p,q) een bepaalde eigenschap heeft, en we kunnen, gegeven dat het vorige paar die eigenschap heeft dat ook voor het volgende paar bewijzen, dan hebben alle paren die eigenschap.

Voor het begingeval p=2, q=1 kun je met eenvoudig uitrekenen bepalen dat je de (3,4,5)-driehoek krijgt. Wat ons rest te bewijzen is dan:

Gegeven dat ik 2 gehele getallen p en q heb, zodanig dat 2pq en p²-q² precies 1 verschillen. Toon aan dat voor de getallen q+2p en p hetzelfde geldt (dat wil zeggen dat 2(q+2p)p en (q+2p)²-p² ook precies 1 verschillen).

AE
1-3-2007