WisFaq!

Grenzen bij dubbele integraal

Mijn vraag gaat over het veranderen van grenzen bij een dubbele integraal.

Voor de functie e^x² wordt er eerst geintegreerd naar x van y tot 1, daarna naar y van o tot 1.

Nu schijnt het zo te zijn dat het gemakkelijker is de grenzen anders op te schrijveneen de integratie volgorde te veranderen. Dus: Eerst naar y van 0 tot x en daarna naar x van 0 tot 1.

Graag zo ik willen weten waarom en hoe je deze grenzen kan veranderen en ik welke gevallen dit handig is.

Groeten,

Mirte

Mirte
27-2-2007

Antwoord

Beste Mirte,

In sommige gevallen maakt veranderen van volgorde de integraal eenvoudiger te bepalen. In dit geval is het zelfs zo dat je 'niet anders kan'. Eerst integreren naar x kan niet, omdat e^x2 geen primitieve heeft. Door eerst te integreren naar y (van 0 tot x) krijg je een extra factor x. Dan krijg je dus x.e^x2 en dat kan je (via een substitutie) wél primitiveren en dus integreren.

Om de grenzen te veranderen is het handig om een goed idee te hebben van het integratiegebied. Maak een schets en dan zul je zien dat je hier integreert over een driehoek. Bekijk het vierkant met hoekpunten (0,0), (1,0), (0,1) en (1,1) en trek de diagonaal volgens y = x. Het integratiegebied is nu de onderste driehoek.

mvg,
Tom

td
27-2-2007