WisFaq!

Kwadraten

Bij het puzzlen met kwadraten van gehele positieve getallen ontdekte ik de volgende twee veronderstellingen:
Als een getal ontbonden kan worden in twee factoren die beide geschreven kunnen worden als de som van twee kwadraten kan dat getal ook geschreven worden als de som van twee kwadraten.
Als de ene factor wel geschreven kan worden als de som van twee kwadraten, maar de andere factor niet dan kan het getal niet als de som van twee kwadraten geschreven worden.
Zijn deze stellingen juist en zo ja is er een formeel bewijs voor ?

G.Jacobsen
26-2-2007

Antwoord

Voor het eerste deel: (a²+b²)(c²+d²)=(ad-bc)²+(ac+bd)² kan je narekenen, dus dat klopt.
Voor het tweede deel: als je de volgende stelling kent dan is het eenvoudig aan te tonen. Overigens ook het eerste deel volgt meteen uit die stelling.

Stelling: een positief getal n is de som van twee kwadraten als en slechts als alle priemfactoren van de vorm 4k+3 tot een even macht voorkomen in n.

Een voorbeeld: bekijk het getal 639146200. Ontbind dit in priemfactoren, dit geeft:
2³ · 5² · 7⁴ · 11³.
De priemgetallen van de vorm 4k+3 zijn hier 7 en 11. 7 komt tot een even macht voor, namelijk 4, maar 11 komt tot een oneven macht voor. Dus dit getal is geen som van twee kwadraten.

En als je dus zo een getal (dus een niet-som-van-twee-kwadraten) vermenigvuldigt met een som-van-twee-kwadraten dan zal er in dat product altijd een priemfactor van de vorm 4k+3 voorkomen tot een oneven macht. En dus is dat product geen som van twee kwadraten.

Heb je nog vragen bij de redenering, of als je geïnteresseerd bent in het bewijs van de stelling (voor het eerst gegeven door Euler overigens) dan reageer je maar. Een bewijs van de stelling is te vinden op deze pagina.

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-2-2007