WisFaq!

Aantal oplossingen in derdegraads vergelijking

Ik moet aantonen dat een vergelijking, zoals
x³ - 12x - 5 = 0
drie oplossingen heeft zonder een grafiek te tekenen.

Ik dacht eerst dat het iets met de afgeleide te maken heeft, maar ik heb nu geen idee.

Dann
18-2-2007

Antwoord

Dat van die afgeleide is wel een goed idee. De redenering die je kan volgen is de volgende:

- Wat is de limiet als x naar min oneindig gaat? En wat als x naar plus oneindig gaat?
- Bereken de nulpunten en het tekenverloop van de afgeleide. Je zal merken dat dit betekent dat de functie x³-12x-5 eerst stijgt, dan daalt, en dan weer stijgt.
- Je weet nu al dat de functie van min oneindig naar een maximum gaat, dan naar een minimum en dan naar plus oneindig.
- Als nu dat maximum positief is, en dat minimum negatief, dan zit er een nulpunt tussen min oneindig en het maximum; er zit een nulpunt tussen het maximum en het minimum; en er zit een nulpunt tussen het minimum en plus oneindig. Controleer dat dit voor de gegeven functie inderdaad het geval is. Dat is drie keer een gevolg van de tussenwaardestelling en als je een schets maakt zie je dat het de logica zelve is.

Christophe
18-2-2007