WisFaq!

Doorsnede door kubus

men neemt een kubus.de vier hoeken van het frontale vierkant noemt men te beginnen links onderaan en daarna in de wijzerzin van een uurwerk:A B C D.het zelfde voor het distale vierkant:EFGH.het midden vanAD noemt men U.midden vanAE is V.het midden vanEFisW.het midden vanFG isX.het midden vanCG is Yen het midden van CD isZ.bewijs nu:-dmv meetkunde in de ruimte en dmv analytische meetkunde dat UVWXYZ in een zelfde vlak liggen en een regelmatige zeshoek vormen
dank op voorhand

dujardin raf
16-2-2007

Antwoord

Ik breng een coordinatenstelsel als volgt aan
E=(0,0,0), A=(1,0,0) H=(0,1,0) en F=(0,0,1).
Dan
U=(1,1/2,0), V=(1/2,0,0) W=(0,0,1/2) X=(0,1/2,1) Y=(1/2,1,1) Z=(1,1,1/2).
Het valt eenvoudig door middel van substitutie te controleren dat deze zes punten liggen in het vlak met vergelijking x-y+z=1/2. Deze zes punten liggen dus in één vlak.
Het valt eenvoudig in te zien dat lengtes van alle zijden is gelijk aan ¹/₂Ö2.
Het valt ook eenvoudig in te zien dat het centrum C van de kubus (1/2,1/2,1/2) ook in het vlak x-y+z=1/2 ligt.
Het valt ook eenvoudig na te gaan dat de afstand van de zes hoekpunten tot C ook gelijk is aan ¹/₂Ö2.
Waaruit volgt dat UVWXYZ een regelmatige zeshoek is.

hk
19-2-2007