WisFaq!

Meerdere variabelen

Beste meneer of mevrouw,

Kunt U mij aub uitleggen hoe je onderstaande limiet berekent en of deze eigenlijk wel bestaat?

Lim (x² + y²)/y
(x,y)®(0,0)

Alvast heel vriendelijk bedankt!

Selma
12-2-2007

Antwoord

Hallo,

Opdat een limiet in het vlak zou bestaan, is het nodig dat de limiet bestaat, voor elke rij die naar (0,0) gaat, en dat die telkens dezelfde waarde aanneemt. Vaak is de truc bij dit soort limieten om twee rijen te vinden waarvoor de limiet een andere waarde geeft.

Een voorbeeld voor deze oefening:
- Stel dat x=t, y=t en laat t naar nul gaan. Dan (x²+y²)/y = (t²+t²)/t = 2t²/t = 2t. Laat nu t naar nul gaan (dan gaan dus zowel x als y naar nul, dus dat is goed), je krijgt in de limiet 2·0=0.

- Stel echter dat x=t, y=t². Dan (x²+y²)/y = (t²+t⁴)/t² = 1+t². Laat opnieuw t naar nul gaan (dan gaan opnieuw x en y allebei naar nul), je krijgt als limietwaarde: 1.

Je hebt nu dus twee verschillende waarden, je kan hieruit besluiten dat de limiet uit de opgave niet bestaat.

Andere rijen die naar (0,0) gaan zijn bijvoorbeeld x=t, y=t³ en dan t naar nul laten gaan, wat de limietwaarde oneindig geeft.

Rest nog de vraag hoe je op die specifieke rijen komt. Je kan natuurlijk telkens een aantal pogingen doen en zien of je verschillende waarden uitkomt. Hier kan je het ook wel inzien: je kan de opgave splitsen in x²/y + y. Die y-term gaat altijd naar nul vermits (x,y) naar (0,0) moet gaan. De term x²/y gaat niet noodzakelijk naar nul: als y sneller naar nul gaat dan x², of even snel, dan is die limiet niet nul.

Groeten,
Christophe.

Christophe
12-2-2007