WisFaq!

De somformules van machten

Ik heb zelf de formules afgeleid voor :

1^k+2^k+3^k+4^k+5^k+....+(n-2)^k+(n-1)^k+n^k= (.......uitdrukking in polynoom van n.......)

voor de natuurlijke getallen k=0 t/m 118.

Bijv. k=8 dan : 1⁸+2⁸+3⁸+4⁸+...+(n-1)⁸+n⁸ =

= n(n+1)(2n+1)(5n⁶+15n⁵+5n⁴-15n³-n²+9n-3)/90 =

= -1/30n+2/9n³-7/15n⁵+2/3n⁷+1/2n⁸+1/9n⁹ .

De bewijzen zijn met volledige inductie te geven.

Het lukt mij niet om een grote algemene formule te vinden voor elke waarde van k.

Wel kan ik met recursie steeds verder komen, maar k=118 vind ik genoeg.

Is er iets over deze machten-reeksen bekend in de wiskunde-literatuur. Ik kan nergens in boeken of op internet hierover ook maar iets vinden. Behalve dan de formules voor k = 1, 2 of 3. Zelf zie ik wel een verband met het binomium van Newton en de driehoek van Pascal. Kan iemand mij verder op weg helpen? Bij voorbaat mijn grote dank.

Koning
12-2-2007

Antwoord

Kijk hier eens naar. De Bernouilli-getallen zelf zal je helaas toch ook via een recursieve betrekking moeten oplossen (zie hier) dus fundamenteel is er weinig veranderd.

cl
12-2-2007