WisFaq!

Som van n opeenvolgende natuurlijke getallen

Ik zit met een probleem:
Kan iemand mij helpen met het volgende bewijs:

Sn is de som van n opeenvolgende natuurlijke getallen 1,2,3,...,n . Bewijs ddoor inductie:

S1 + S2 + S3 + ... + Sn =   3
                           C
                            n+2

Het gaat hier over de C uit de combinatieleer!

Thierry
22-10-2002

Antwoord

Bekijk eerst even de waarde van (n+2)C3

(n+2) C 3 = (n+2)! /3!.(n-1)! = 1/6.n.(n+1)(n+2)

Gebruik ook het vast wel bekende feit dat S(n) = ½.n.(n+1)
Hieruit volgt dan ook dat S(n+1) = ½.(n+1).(n+2) en dit zal straks gebruikt gaan worden.
Dan nu het bewijs.

Als je n = 1 kiest, dan heb je enerzijds S(1) = 1 en anderzijds (1+2)C3 = 3C3 = 1, dus dan klopt het.

Laat de eigenschap nu bewezen zijn voor de waarden 1 t/m n.
We moeten nu de sprong maken naar (n+1).

S(1) + S(2) + S(3) + ......+S(n) + S(n+1) =

(n+2)C3 + S(n+1) = 1/6.n.(n+1).(n+2) + ½.(n+1).(n+2) =

(n+1).(n+2).(1/6n + ½) = 1/6.(n+1)(n+2).(n+3)

Dit zou nu dus gelijk moeten zijn aan (n+3)C3 en dat klopt, want (n+3)! / 3!.n! is inderdaad gelijk aan (n+1)(n+2)(n+3)/6

MBL
22-10-2002