WisFaq!

Meetkundige rij

Dag Wisfaq,

Ik zit met volgend probleem.
Meetkundige rij mzet u(1)= 2 en y(n)= 32/81 Bepaal S(n)?
Is hier geen gegeven te weinig?
Ik begon als volgt:

S(n)=2.(1-Qⁿ)/(1-Q) (1)
u(n)= 2(Q^n-1 =32/81 (2)
(2) schrijven als 32/81=2(qⁿ)(q^-1)
of 32/(2.81)= Qⁿ.1/Q
16Q/81= Qⁿ(3)
(3) in (1) geeft :
Sn= 2((1-16Q/81))/(1-Q)
Sn= 2(81-16Q)/(81(1-Q))(4)
Nu heb ik S(n) in functie van Q geschreven. Is het dat wat men bedoelt of moet ik een waarde voor Q vinden om dan de som als een "getal" te kunnen uitschrijven?

Dan kwam echter de ingeving, nog maar zojuist,dat:
S(n)= 2+2Q+2Q² (5) als som van termen van een MR...
en we krijgen:
2+2Q+2Q²= 2(81-16Q/81(1-Q)
Uitwerking geeft: 81(1+Q+Q²)(1-Q)=81-16Q
(stel (5)=(4))
Verder werken we uit en passen een merkwaardig product toe:
81(1-Q³)=81-16Q
of 81-81Q³-81+16Q=0
of: 16Q-81Q³=0
met Q=0 wat we verwerpek wegen MR.
Er rest nog Q²=16/81 en Q'= 4/9 en Q"=-4/9
Bij invullen in (4) vind ik danvoor Q=4/9:
S(n)=2((81-(16.4)/9)(81(1-4/9)
en uitgewerkt komt het neer op Sn= 665.2/81.5= 266/81
Q=-4/9 geeft dan met een gelijkaardige berekening:
S(n) 2((81+(16.4)/9))/81(1+4/9) en uitgewerkt S(n)= 793.2/81.3=122/81
Is mijn redenering juist?
Graag een antwoord en eventueel een kortere weg aangeven als dat kan!
Vriendelijke groetjes,

Lemmens Rik
6-2-2007

Antwoord

Dag Rik,

Je redenering uit het eerste deel klopt. En ook je opmerking dat er een gegeven te weinig is om een getal uit te komen, is correct. Er zijn immers veel meetkundige rijen die starten bij de term 2, en die een n'de term hebben die gelijk is aan 32/81. Twee ervan heb jij in je tweede deel gevonden, namelijk de rijen met rede Q=4/9 en Q=-4/9.

Echter, ook Q=2/3 en Q=-2/3 en Q=16/81 geven je een term die gelijk is aan 32/81. De reden dat je deze in je tweede deel niet uitkomt, is dat je vertrekt van S(n)=2+2Q+2Q². Dit is de som van de eerste drie termen van een meetkundige rij die start bij 2. Maar dan ga je er dus van uit dat n=3, en dat is niet gegeven... Als je dezelfde formule zou opstellen voor n=5 dan zou je komen op Q=2/3 of -2/3 of 2i/3 of -2i/3. En zoals je zelf in je tweede deel al zag: een verschillende Q leidt tot een verschillende S(n).

Overigens heb ik hier alleen nog maar de Q's gegeven die mooi uitkomen, maar voor elke nÎ bestaan er n-1 Q's zodat y(n)=32/81, waarvan er steeds één of twee Q's reëel zijn: immers Q=de (n-1)'de machtswortel uit 16/81 voldoet altijd. Voor even n zie je dan dat je één positief reëel getal uitkomt, voor oneven n zie je dat je één positief reëel getal uitkomt, en ook zijn tegengestelde. Alle andere machtswortels zijn steeds complex.

Groeten,
Christophe.

Christophe
7-2-2007