WisFaq!

Wortel bepalen in polaire vorm

Hallo!
Ik moet de wortels van onderstaande vergelijking bepalen en weergeven in polaire vorm : z⁶-2z³+2=0.
Stel z³=x. Dan geldt dat d=-4 voor de nu verkregen tweedegraads vergelijking en x=1+/-i.
Dan geldt weer z³=1+/-i.
Nu gebruik ik Euler : 1+i=Ö2e^{i·p/4 +k·p} en 1-i=Ö2e^-ip/4+k·p
Dus z³ is hier gelijk aan en dan zou het toch moeten kloppen als ik de derdemachtswortel neem van bovenstaande uitdrukkingen.
Maar helaas .............. Het goede antwoord moet volgens de reader zijn : re^if met r=Ö2 en f=kp/12 met k=+-1,+-7,+-9.
Waar ga ik de mist in ? Bij voorbaat dank.

Mvg Tony

Tony
4-2-2007

Antwoord

Hallo,
Je methode is correct. Alleen moet je, waar je Euler gebruikt, 2kp hebben in plaats van kp. Want als je bijvoorbeeld één keer p bijtelt dan krijg je een ander getal (het tegengestelde namelijk).

Voorts moet de r dan natuurlijk wel de derdemachtswortel zijn van Ö2, dus je krijgt voor r de zesdemachtswortel uit 2.

Voor de f krijg je p/12, p/12 + 2p/3, p/12 + 4p/3 en uit je 1-i oplossing krijg je de f-waarden -p/12, -p/12 + 2p/3 en -p/12 + 4p/3.

Als je dit op de noemer 12 zet krijg je inderdaad kp/12 met k=1, 9, 17, -1, 7, 15 wat op hetzelfde neerkomt als de k-waarden die je opgeeft, vermits een veelvoud van 2p natuurlijk geen invloed heeft, dus bij elk van die k-waarden mag je 24 bijtellen of aftrekken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
4-2-2007