WisFaq!

Scheiden van variabelen

hallo,

ik kom niet uit het volgende vraagstuk.

ty'(t)-2y(t)+3 = 0

als ik het probeer kom ik tot het volgende:

ty'(t) = 2y(t)-3
y'(t) = (2y(t))/t - 3/t
y'(t)/y(t) = -1/t

integreren levert dan het volgende op
y(t) = ct

dit lijkt echter niet op het antwoord
y(t) = (3+At²)/2

Hoe kom ik wel op dit goede antwoord uit?

Hans
3-2-2007

Antwoord

De clou is dat je eerst de homogene oplossing uitrekent
(dus de oplossing van ty'-2y=0) en daarna de particuliere oplossing (dus een speciale oplossing van ty'-2y=-3), en dat DE oplossing van de dv gelijk is aan de som van de homogene en de paticuliere oplossing.

Eerst de homogene oplossing:
t.dy/dt - 2y = 0 Û t.dy/dt = 2y Û dy/y = (2/t).dt Þ
ln|y|=2ln|t|+c Û ln|y|=ln|t|²+c Û y=t².d

nu een particuliere oplossing: die blijkt te zijn y=3/2

de totale oplossing is dus y(t)= d.t²+3/2
En omdat je de d toch a priori niet weet, komt deze oplossing op t zelfde neer als die van jou: y(t)=(3+A.t²)/2

Je kunt het probleem ook nog op een andere manier aanpakken.
Daarvoor moet je je dv omgooien in: y'+(-2/t)y = -3/t
En voor de verdere afhandeling moet je even deze 2 links bestuderen:

• ODE in t met functie afhankelijk van t
• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

groeten,
martijn

mg
3-2-2007