WisFaq!

Re: Limiet van een som en limiet van een produkt

Hartelijk bedankt voor uw antwoord.
Ik had het eigenlijk over 'functies'.

Ik had dit als bewijs voor de som:

Stel 1) lim x-a [f(x)+ g(x)] = L
2) lim x-a [f(x)] = F
3) lim x-a [g(x)] = G

Te bewijzen: L = F+ G

1) "e0;$d0:x¹a en |x-a|0 Þ |[f(x)+ g(x)]-L|e
2) "e0;$d0:x¹a en |x-a|0 Þ |f(x)-F|e
3) "e0;$d0:x¹a en |x-a|0 Þ |g(x)-G|e

-- dus: [f(x)+ g(x)]-L = [f(x)-F] + [g(x)-G] uitwerken levert: L = F + G
Hetgeen de stelling bewijst. Is dit correct?
Mvg,

Jan

Jan
31-1-2007

Antwoord

Het zit niet helemaal goed, maar je komt dicht in buurt. In elk geval moet je de zaak steeds tussen modulusstreepjes houden. Je krijgt iets in deze geest (en ik laat de letter x voor het gemak even weg want dat leest eenvoudiger): |(f+g) - (F+G)| = |(f - F) + (g - G)||f - F| + | g - G| ¹/₂e + ¹/₂e = e als |x - a|d.

Hier wordt o.a. gebruik gemaakt van de zogeheten driehoeksongelijkheid (die zegt dat |X+Y| |X| + |Y|).
En het getal ¹/₂e wordt geplaatst om puur esthetische redenen, want dan kom je zo fraai op precies e uit en dat klopt dan met wat de definities altijd willen. De clou is natuurlijk dat als x maar dicht genoeg in de buurt komt van a, het verschil tussen f(x) en F en g(x) en G zo klein wordt als je maar wilt.

MBL

MBL
31-1-2007