WisFaq!

Partieel integreren

Geachte heer/mevrouw,

ik heb een vraag over een integraal die uitgewerkt moet worden met partieel integreren.
opgave: $\int{}$Sin[ln[x]]dx.
uiteindelijk krijg je $\int{}$e^u Sin u du
ik heb een standaardformule gebruikt:
1/(a²+b²)(asinbu-bcosbu)e^au + c = $\int{}$e^uSinu
ik kom uiteindelijk tot de goede uitkomst:
1/2xsin(ln[x])-1/2xcos(ln[x]) + C
Echter mijn vraag is: kan ik deze opgave uitwerken zonder deze standaardintegraal? zoja, hoe moet ik dit aanpakken?

bij voorbaat dank,

Ko

Kees
26-1-2007

Antwoord

Hallo Kees

De op te lossen integraal is dus:
$\int{}$sin(u).e^u.du = $\int{}$sin(u).d(e^u)
Deze lossen we op door partiële integratie, zoals je zelf aangeeft.

De formule voor partiële integratie is:
$\int{}$v.dw = v.w - $\int{}$w.dv

Dus : I = $\int{}$sin(u).d(e^u) = (partiële integratie)
sin(u).e^u - $\int{}$e^u.d(sin(u)) =
sin(u).e^u - $\int{}$e^u.cos(u).d(u) =
sin(u).e^u - $\int{}$cos(u).e^u.du =
sin(u).e^u - $\int{}$cos(u).d(e^u) = (partiële integratie)
sin(u).e^u - cos(u).e^u + $\int{}$e^u.d(cos(u)) =
sin(u).e^u - cos(u).e^u - $\int{}$sin(u).e^u.du =
sin(u).e^u - cos(u).e^u - I (oorspronkelijke integraal)

Dus :
2I = sin(u).e^u - cos(u).e^u
en
I = ¹/₂.sin(u).e^u - ¹/₂.cos(u).e^u =
¹/₂.x.sin(ln(x)) - ¹/₂.x.cos(ln(x))
vermits e^u = x en ln(x) = u

LL
26-1-2007