WisFaq!

Integreren e-machten

Geachte heer/mevrouw,

Ik heb met mathematica 5.2 de uitkomst van de volgende integraal bepaald:
ò(xe^x)/((x+1)²)dx = e^x/(1+x) + c [uitkomst]
De methode die gebruikt moet worden: partieel integreren.
u=xe^x
du=e^x+xe^x
dv=(x+1)^-2
v=-(x+1)^-1
xe^x · -(x+1)^-1 - ò-(x+1)(e^x+xe^x)dx
-xe^x/(x+1)- ò - (e^x + xe^x)/(x+1)
en hier loop ik vast....ik weet niet hoe ik aan de uitkomst van mathematica kom, heb ook u=(x+1)^-2, du= -2/((1+x)³)
dv = xe^x, v= -e^x+xe^x, maar daar kom ik ook niet uit.

kunt u mij hierbij helpen?

Bij voorbaat hartelijk dank..

gr.
moos

moos
25-1-2007

Antwoord

òx.e^x/(1+x)² dx

inderdaad, je moet het als een produkt zien van
x.e^x en 1/(1+x)²

omdat [f.g]'=f'g+fg' is f'g=[f.g]'-fg'
dus òf'g.dx = [f.g] - òfg'dx
wat in feite op hetzelfde zal neerkomen als de u's, du's, v's en dv's volgens jouw manier.

we stellen nu dat f'=1/(1+x)² en g=x.e^x
dus òx.e^x/(1+x)² dx = òf'g.dx
volgens de partiële-integratieregel òf'g.dx = [f.g] - òfg'dx moeten we dus na het = teken de f' primitiveren, en later de g differentiëren.
de primitieve van 1/(1+x)² is -1/(1+x)
de afgeleide van x.e^x is (1+x)e^x

òx.e^x/(1+x)² dx
= [-x.e^x/(1+x)] - ò-(1+x)e^x/(1+x) dx
= [-x.e^x/(1+x)] + òe^xdx
= [-x.e^x/(1+x) + e^x]
= [{-x/(1+x) + (1+x)/(1+x)}e^x]
= [e^x/(1+x)]

groeten,
martijn

mg
26-1-2007