WisFaq!

Vectoren en vlakken

Beste wisfaq,

Ik zit met het volgende probleem.

Stel dat n . x = d en dat n' . x = d' (hier staat de punt voor het in/skalar/dot product en zijn n, n' en x vectoren) twee niet parallele vlakken zijn.

Allereerst moet ik aantonen dat [n,n',n ´ n'] ¹ 0. Mijn eigen idee, maar volgens mij bevat het een fout, is als volgt:

We hebben dat (een punt staat telkens weer voor het inproduct):

n,n',n ´ n'] = n . (n ´ (n´ n'))

Schrijf dit anders door gebruik te maken voor de regels voor in en uitproduct:

= n . ((n' . n')n - (n' . n)n')
= n . (0 - (n' . n)n')
= n . (-(n' . n)n')
= -(n' . n)(n . n')

Nu volgt er echter geen conclusie. Toen ik dit uitwerkte had ik in gedachte dat beide inproducten ongelijk aan 0 zijn doordat de eerder gegeven vlakken niet parallel zijn. Echter voor het inproduct maakt dat niet uit, want als ze parallen zouden zijn, zou de hoek q tussen n en n' gelijk zijn aan 0 graden en zou de laatste regel ongelijk aan 0 zijn. Bovendien is de optie dat beide vlakken loodrecht op elkaar staan nog niet uitgesloten, dus kan ik niet concluderen dat n . n' ongelijk aan 0 is.

Alvast bedankt voor de hulp,

Bas

Bas Theunissen
25-1-2007

Antwoord

Dag Bas,

Klein typfoutje denk ik: in de regel na "We hebben dat..." mankeert er een accentje.

Ik denk dat je een fout maakt in je afleiding: hoe kom je aan die nul (in je tweede gelijkheid)? n'.n' is immers gelijk aan de norm van n' in het kwadraat, en dus niet nul. n' × n' zou wel nul zijn.

n . ((n' . n')n - (n' . n)n') is zeker wel goed. Dan denk ik dat je best de haakjes uitwerkt, je krijgt:
(n'.n')(n.n) - (n'.n)(n'.n)

Merk op dat wat tussen de haakjes staat, telkens getallen zijn, geen vectoren, dan zie je ook meteen dat het geen probleem is om die volgorde van de factoren om te wisselen zoals hier gebeurd is.

Vermits voor een vector x geldt dat (x.x)=||x||² wordt dit, en ook met de definitie van inproduct:

||n||² ||n'||² - (||n'|| ||n|| cosq)²
= ||n||²||n'||² (1-cos²q)
= ||n||² ||n'||² sin²q
en vermits gegeven is dat n en n' niet parallel zijn, is hun onderlinge hoek geen veelvoud van p, dus die sinus is niet nul. En de normen van n en n' zijn natuurlijk ook niet nul, anders stellen je vergelijkingen geen vlakken voor. Dus het geheel is ongelijk aan nul.

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-1-2007