WisFaq!

Integraal met e-macht

Geachte heer/mevrouw,

ik heb een opgave die ik al uit heb gewerkt en ik wilde u vragen of ik deze opgave goed heb gemaakt?
vraag:
Integraal xe^x/(x+1)²;
heb u= xe^x
du= e^x + xe^x
dv= (x+1)^-2
v= -(x+1)
uiteindelijk:
xe^x(-x-1)-integraal(-x-1)e^x + xe^x;
xe^x(-x-1)-(e^x - xe^x - e^x - e^x + xe^x);
uitkomst: xe^x(-x-1)+ e^x ?
Is de integraal correct uitgewerkt?
nog een vraagje over uitwerking van cos.
een uitkomst van opgave is -1/8cos⁴(2x), dit is goed. het boek geeft aan 1/64(-4cos(4x)-cos(8x), hoe kom ik aan het antwoord in het boek?

Bij voorbaat dank!

mvgr.
moos

maurice
24-1-2007

Antwoord

Hallo

Je oplossing is helaas niet correct!

Splits eerst de functie in partieelbreuken

^xex/_(x+1)² = ^ex/_(x+1) - ^ex/_(x+1)²

Nu is de integraal van de eerste breuk:
ò^ex/_(x+1).dx =
(door partiele integratie)
^ex/_(x+1) - òe^x.d(¹/_x+1) =
^ex/_(x+1) + ò^ex/_(x+1)²

Dit tweede gedeelte valt nu weg (je kunt ook al eens geluk hebben!) tegenover de tweede breuk.

Als oplossing blijft er dus : ^ex/_(x+1)


-¹/₈cos⁴(2x) is niet gelijk aan
¹/₆₄(-4cos(4x)-cos(8x)), maar gelijk aan
¹/₆₄(-3-4cos(4x)-cos(8x)).

We gebruiken de formule : cos²(x) = ¹/₂.(1+cos(2x))
Dus : cos²(2x) = ¹/₂.(1+cos(4x)) en
cos⁴(2x) = [¹/₂.(1+cos(4x))]² =
¹/₄.(1+2cos(4x)+cos²(4x))

Vervang nu cos²(4x) door ¹/₂.(1+cos(8x)) en na enig rekenwerk bent je er.

De term ¹/₆₄.(-3) mag nu weggelaten worden omdat integralen kunnen verschillen in een constante.

LL
25-1-2007