WisFaq!

Leslie-matrix: constante samenstelling of constante procentuele samenstelling

Hallo, ik heb een vraag over de leslie matrix. Morgen heb ik er een toets van dus hopelijk kunt u hem vandaag nog beantwoorden. Het gaat om deze vraag:

De voortplanting van een populatie bestaande uit 2 klassen van individuen wordt beschreven door de Leslie-matric (2 6 - 0,5 0) Ik krijg die getalletjes niet onder elkaar maar 2 6 staat boven en 1/2 0 onder. een 2x2 matrix dus.
De vraag is: Onderzoek of deze populatie toestanden met constante samenstelling of constante procentuele samenstelling heeft. Zo ja, bereken deze toestanden. Hoe is de samenstelling in procenten?

Ik snap er werkelijk geen bal van, ten eerste ik snap die 2 begrippen niet eens, wat zijn dat en ten tweede.. ik weet totaal niet wat ik moet doen, hoe ik moet beginnen.

Hopelijk kunt u snel antwoorden, Groetjes.. Serhan

Serhan
23-1-2007

Antwoord

Bij een Lesliematrix hebben eigenwaarden en eigenvectoren een speciale betekenis:

De grootste eigenwaarde (meestal is er juist één positieve eigenwaarde, dus die dan) van de Lesliematrix geeft de groeifactor van de populatie op lange termijn. In jouw opgave zijn de eigenwaarden 3 en -1, dat betekent dat na verloop van tijd de bevolking steeds ongeveer verdrievoudigd wordt. (In het begin zal die groeifactor niet zo dicht bij 3 liggen, na verloop van tijd wel).

De eigenvector die hoort bij deze grootste eigenwaarde heeft ook een betekenis: het geeft weer hoe de verschillende leeftijdsklassen zich gaan verhouden. In dit voorbeeld hoort bij de eigenwaarde 3 de eigenvector (6,1) of een veelvoud daarvan natuurlijk. Dus na verloop van tijd ga je ongeveer de verhouding 6:1 krijgen: voor elke 6 dieren in de eerste leeftijdscategorie zit er 1 in de tweede leeftijdscategorie.

Je kan altijd met een rekentoestel controleren of dit klopt: kies een willekeurige beginpopulatie (vb N₀=(1,1)) en bereken bijvoorbeeld de 19de en de 20ste populatie. Dat doe je door N₁₉=L¹⁹N₀ te berekenen. Tel daarin beide elementen op om de totale populatie te kennen. Doe hetzelfde voor 20, en je zal merken dat de totale populatie ongeveer maal drie gegaan is. En voor de verhouding: je zal merken dat het eerste getal uit je vector N₁₉ zowat zes keer zo groot is als het tweede getal uit die vector.

Succes morgen...
Christophe.

Christophe
23-1-2007