WisFaq!

Lebesgue integreerbare functie

Hallo wisfaq,

Beschouw de functie F(x)=(x²)·sin(1/(x²)), x ongelijk 0 en F(0)=0.Ik wil laten zien dat F' bestaat voor elke x en dat F' niet Lebesgue integreerbaar is op [-1,1].

Ik heb zelf het volgende:

1.F'(x)=(-2/x)·cos(1/(x²))+2x·sin(1/(x²))
Ik begrijp niet waarom F' bestaat voor elke x, dus ook voor x=0.Komt dat omdat F(0)=0?

2.Ik moet dus laten zien dat F' niet Leb.intgr. is.Ik moet dus laten zien dat INT[F'dx] van -1 tot 1 niet eindig is.Ik denk dat je |F'| moet afschatten met eenvoudigere functies, of de integraal afschatten met een of andere reeks.Dus er is functie, zeg A(x), zodat

INT[|F'|dx] $>$ A(x)

Dan moet ik laten zien dat A(x) naar oneindig gaat.Want dan gaat ook de integraal naar oneindig en is dus F' niet leb.intgr.
Mijn probleem is dat ik er niet kan achter komen dat deze A(x) moet zijn.

Groeten,

Viky

viky
23-1-2007

Antwoord

Je uitdrukking voor F'(x) werkt voor alle x ongelijk aan 0; F'(0) moet je met behulp van de definitie bepalen: limiet voor h naar 0 van (F(h)-F(0))/h.
Wat het tweede betreft: F' is een som van twee functies waarvan de tweede, f(x)=2x*sin(1/(x^2)) als x ongelijk 0 en f(0)=0, gewoon continu en dus integreerbaar is op [-1,1]. Het gaat dus om g(x)=(-2/x)*cos(1/(x^2)); wat je doet is die functie telkens op een interval tussen de nulpunten van cos(1/x²) bekijken: cos(1/x²)=0 precies dat als 1/x²=(k+1/2)p voor een of andere k. omdat |g(x)| even is beperken we ons even tot het interval (0,1], we krijgen dan de volgende nulpunten: x_k=1/sqrt((k+1/2)p), voor k=1,2,3,4,5,....
Bekijk één zo'n integraal: int(|g(x)|, x=x_k+1..x_k) substitueer u=1/x² (dus x=1/sqrt(u), dx=-1/2u^-3/2, etc) dan krijg je int(1/u*|cos(u)|,u=(k+1/2)p..(k+3/2)p); die integraal kun je niet expliciet uitrekenen, maar wel naar onderen afschatten: 1/u=1/((k+3/2)p), dus de integraal is groter dan int(|cos(u)|,u=(k+1/2)p..(k+3/2)p)/((k+3/2)p) en deze kun je wel uitrekenen, de integraal van |cos(u)| geeft twee, dus de oorspronkelijke integraal is groter dan 2/((k+3/2)p)=4/((2k+3)p.
De integraal van |g(x)| over het hele interval (0,1] is dus groter dan de som van de reeks met algemene term 4/((2k+3)p, en die is divergent.

kphart
23-1-2007