WisFaq!

Fase Diagram

Eerlijk gezegd geen idee of dit het goede topic is, maar het gaat (oa) over complexe getallen.

Ik moet het fasediagram tekenen van de vergelijking dx/dt=Ax (hierbij is A dus een matrix). Deze heeft eigenwaarden:
l_±= 1 ±3i
en eigenvectoren:
n_±=(1, 2(-+)i)

Met x^. 0 (eerste afgeleiden 0)

Ik begrijp dat dit een spiraal oplevert die tegen de wijzers vd klok indraait. Daarbij snap ik dat de reeele waarde van de eigenvector bepaalt of het een stabiel of instabiel is (dit geval is het reeele gedeelt positief dus de spiraal instabiel).

Hoe moet ik deze alleen precies tekenen? Er moet nl ook nog een coordinatentransformatie uitgevoerd worden (het is nl geen "nette" spiraal maar een spiraal "onder een hoek").

Robert
21-1-2007

Antwoord

Je kunt de oplossingen nu opschrijven. De basisoplossingen zijn e^(1+3i)t[1, 2-i] en e^(1-3i)t[1, 2+i] (het lijkt of [1, 2-i] bij 1+3i hoort; anders vectoren omwisselen). Je kunt e^(1+3i)t omschrijven tot e^t(cos(3t)+isin(3t)) en [1, 2-i] = [1,2]+i[0,-1]; als je dit uitwerkt krijg je de reele en imaginaire delen van de eerste basisoplossing, Die twee zijn ook oplossingen en ook basisoplossingen; met behulp daarvan kun je het fasevlak met oplossingskrommen vullen. De factor e^t geeft aan dat (0,0) een afstotend spiraalpunt is.

kphart
22-1-2007