WisFaq!

Impliciet schrijven

als ik de functie:

x²+xy+2y³-4=0

wil differentieren naar x (voor het opstellen van de vergelijking van de raaklijn in het punt (-2,1)), moet ik hem afleiden naar x.

dan krijg ik klaarblijkelijk:

2x+y+xy'+6(y²)y'

Ik snap nu niet hoe ik aan xy' en 6(y²)y' moet komen.

Ok, hier valt de systematiek nog wel te doorzien misschien, maar ik krijg ook vragen waar de cos/sin in verwerkt zit.. en dan nog ingewikkelder qua structuur :)

Zou u me uit kunnen leggen wat er gebeurd?

Ronald
15-1-2007

Antwoord

Eigenlijk moet je dit zien als een soort van som-regel:

Stel dat er staat:
f(x).g(x)=0
en je gaat links en rechts differentiëren, dan krijg je:
[f(x).g(x)]'=[0]'
ofwel:
f'(x).g(x)+f(x).g'(x)=0

Nu staat er niet f(x).g(x)=0, maar
x²+xy+2y³-4=0
De y die hier staat, is geen onafhankelijke variabele als x, maar
y is een ·functie· van x. Dus y=y(x). Een functie die je a priori niet weet.

Differentiëren we nu de bovenstaande vergelijking links en rechts naar x, dan krijgen we:
[x²+xy+2y³-4]'=[0]' $\Leftrightarrow$
[x²]'+[x.y]'+[2y³]'-[4]'=0 $\Leftrightarrow$
de term x.y moeten we met de produktregel differentiëren, en de 2y³ volgens de kettingregel. (immers y=y(x))
$\Rightarrow$ 2x + y + x.y' + 6y².y' = 0
$\Leftrightarrow$ y'= (-2x-y)/(x+6y²)

Vul je in deze breuk de coördinaten (dus de x EN y waarde in van het betreffende punt) dan levert je dat de steilheid van de raaklijn in dat punt.

Is het zo iets duidelijker geworden?

groeten,

martijn

mg
15-1-2007