WisFaq!

Raaklijn vergelijking opstellen

Bereken de raaklijn aan de kromme (2x)^(3y)-4x + sin(py) = 56 in het punt (2; 1).

De normale procedure voor het opstellen van een raaklijn begrijp ik. Nu krijg ik alleen deze functie niet gedifferentieerd.. En de 56 als rechterlid snap ik ook nog niet.

Help?

ronald
15-1-2007

Antwoord

De meeste functies worden expliciet gegeven, dus in de vorm y=f(x), en dan is het inderdaad niet zo moeilijk de raaklijn op te stellen. Hier is dat niet het geval: je hebt een impliciete functie, dit is iets van de vorm F(x,y)=0 (tenminste als je die 56 even naar links brengt).

Voor dit soort functies geldt nog steeds de klassieke raaklijnformule
y=y₀+f'(x₀,y₀)*(x-x₀)
waarbij f' de afgeleide voorstelt van f(x)=y naar x. Enig probleem: je kent die functie f niet.

Dit wordt opgevangen door de techniek van het impliciet differentiëren. Dat houdt in dat je de hele gelijkheid afleidt naar x, waarbij de afgeleide van x naar x natuurlijk 1 is, en de afgeleide van y naar x is gezocht, die noteer je bijvoorbeeld met y'.

Die eerste term is nog niet zo eenvoudig af te leiden omdat er een functie van x voorkomt in zowel grondtal als exponent. De truc daarbij is om er even een exponentiële en een ln voor te zetten, want je krijgt dan:
f^g = e^(ln(f^g)) = e^(g ln(f))
Dus de afgeleide hiervan is:
e^(g ln(f)) * (g' ln(f) + gf'/f) = f^g * (g'ln(f)+gf'/f)
Of dus met f=2x en g=3y wordt de afgeleide:
(2x)^(3y) * (3y' ln(2x) + 3y*2/(2x))

De andere termen zijn niet zo moeilijk, je krijgt als je alles afleidt:
(2x)^(3y) * (3y' ln(2x) + 3y/x) - 4 + py' cos(py) = 0.

Nu kan je dit uitwerken naar y' (de afgeleide die je nodig hebt in de raaklijnformule), maar dat is niet nodig: je hebt die afgeleide enkel nodig in het punt (2,1). Dus je kan in voorgaande uitdrukking het punt x=2, y=1 invullen, en zo kom je uiteindelijk uit op
64*(3ln(4)y'+3/2)-4-py'=0
Dus y'=-92/(192ln(4)-p)

Komt niet zo mooi uit, maar dit is wel het getal dat je dan zou moeten invullen in de raaklijnformule.

Groeten,
Christophe.

Christophe
15-1-2007