WisFaq!

En nu iets heel anders...

De functie

kⁿ=xⁿ+yⁿ

heeft oneindig veel oplossingen. Deze zijn samen te vatten als getallen paren(x,y) en tesamen met de konstant k vormt de oplossing een Set {K,n,x,y}. Er is hier slechts sprake van getallen en asnog is er bewust geen relatie gelegd naar meetkunde.

Stel nu dat verschil tussen twee coordinaten (x₂,y₂)-(x₁,y₁)=P en we laten P naar nul to neigen zodat P---> dP. We nemen nu het intergraal dP over de gehele getallen set van begin tot het einde. Voor open sets zal dit getal oneindig kunnen zijn maar voor gesloten sets zal dit een eindig getal P opleveren welke kenmerkend is voor de set en waardor er dus een relatie onstaat tussen K en P welke ik als N1=P/K defineer(Kerngetal). Stelling: Voor elke Set {K,n,x,y} waarvoor P eindig is is er een getal N zodat P=N·K.

Voorbeeld: Voor n=2 onstaat er een set getallen welke naar een vlakke circle vertaald kunnen worden indien ze in een xy-vlak geplot worden. Dit houdt in dat P= ·K en voor de het oppervlak van de cirkel geldt als integraal dA----> /4·K² waar K dus de diameter is. Voor de cirkel,is er dus een tweede Kerngetal N2= /4. Hierdoor ontstaat voor de circkel de set {K,2,x,y, , /4} =>{K,2,x,y,N1,N2} als een generalisatie, en deze wordt doorgetrokken voor de getallen sets met exponent 1:

{K,n,x,y,N1,N2} waarin N1 en N2 via de integraal operatie gevonden kunnen worden op identieke manier als voor de Cirkel Set. Uiteraad kunnen we deze set formulering nog meer generaliseren door coefficienten in te bouwen:

Kⁿ=axYn + byⁿ

Voor bepaalde exponenten n en constanten a en b onstaan er geometrische figuren, waaronder o.a. de ellipse en een series of figuren welke van een circle zich naar een vierkant omtoveren. Voor elke gesloten figuur is de stelling nu:

Omtrek = N1·K
Oppervlak=N2·Kⁿ (indien de vorm geloten is).

vraag 1 is: Is deze stelling waar? Voor elke set is K een constante en voor figuren welke niet een cirkel zijn is de K eenvoudigweg niet te vergelijken met een diameter.

Vraag 2. Voor de cirkel zijn N1= en N2 trancendental getallen. Is dit ook zo als bijvoorbeeld n=4 gezet wordt?

Voor n=4 een mooie ronde vierkant is geprodceert.

Is get

Conrad Winkelman
19-10-2002

Antwoord

Hoi Conrad,

Je hebt inspirerende ideeën, maar misschien zijn ze niet zo toegankelijk...

Daarom een poging tot vulgarisering:
Je bent op zoek naar een veralgemening van de begrippen omtrek en oppervlakte.

Een nuttig begrip in deze context is 'norm van een vector'. Voor het gemak houden we ons hier aan 2D vectoren u(x,y).
Een klassieker onder de normen is de 2-norm: N₂(x,y)=sqrt(x²+y²). Even klassiek is de definitie van 'afstand' tussen 2 vectorn als de norm van de verschilvector.

Wanneer je het goed bekijkt, zie je dat omtrek en oppervlakte in 'wereldlijke' toepassingen bijna altijd in deze 2-norm worden uitgedrukt. Denk maar aan het concept achter integralen om lengte en oppervlakte te berekenen.
Een even voor de hand liggende vraag is: welke zijn de vectoren op een constante afstand van een bepaalde vector. Of concreet: welke zijn de vectoren op een afstand k van de 0-vector. Voor de 2-norm en de 2-afstand is dit: x²+y²=k², een 2-cirkel met oorsprong o en straal k. (hier meen ik een rekenfoutje te bespeuren: k is de straal, niet de diameter - zie formules omtrek/oppervlakte cirkel in je vraag)

Maar waarom vastzitten op 2? Jij hebt het over de n-norm en n-afstanden en n-cirkels (voorlopig nog met natuurlijke n, maar ik weet zeker dat je straks met complexe afkomt).
Ik meen me te herinneren dat er een betekenis is voor n=0,1 en ¥:
N(0,u)=min{x_i}
N(1,u)=å|x_i|
N(n,u)=(åx_iⁿ)^1/n
N(¥,u)=max{x_i}
Jij bent geïnteresseerd in de meetkundige figuren van de vorm N(n,u)=k waarbij u(x,y) een 2D vector is of een lineaire scalering ervan v(ax,by). En dit kunnen inderdaad leuke figuren worden, van cirkels over ellipsen en allerlei afgeronde rechthoeken, tot rechthoeken. Je blijft eigenlijk wel afstanden in de 2-norm rekenen zodat je je houdt aan de klassieke betekenis van omtrek en oppervlakte. We noteren de omtrek en de oppervlakte (als ze eindig zijn): c(n,k) en s(n,k)
Je 'kerngetallen' zijn dan:
n₁(n,k)=c(n,k)/k en n₂(n,k)=s(n,k)/k².

Je eerste stelling is dan:
c(n,k)=n₁.k en dat blijkt uit je definitie...
Je tweede stelling:
s(n,k)=n₂.kⁿ. Voor n=2 is dit weer je definitie, voor n<>2 is dit duidelijk niet correct.

Je tweede stelling is interessanter..
Je veronderstelt impliciet dat n₁ en n₂ onafhankelijk zijn van k. Dit lijkt me gewaagd. Voor de vraag naar transcendentie, moeten we integereren...

De onderliggende vragen zijn dus:
- Hoe zien meetkundige plaatsen van de vorm xⁿ+yⁿ=kⁿ eruit?
- Wanneer zijn ze gesloten?
- Wat zijn de omtrek en de oppervlakte van dit soort figuren?

Dit lijkt me meer dan een rekenoefening, maar ik zou het appreciëren mocht iemand me een aantal plaatjes sturen van die figuren.

Het wordt helemaal leuk als je 'omtrekken' en 'oppervlaktes' niet meer in de 2-norm ziet. Of wanneer je je niet meer tot 2D beperkt en 'volumes' en meer-dimensionale karakteristieken bestudeert. Ik weet zeker dat er hierover literatuur/cursussen moeten bestaan. Zou dat eens moeten opzoeken... (niet-Euclidische meetkundes enz)

Groetjes,
Johan

andros
28-10-2002