WisFaq!

Taylor-reeks

Zouden jullie me kunnen uitleggen, in begrijpbare woorden, hoe deze formule (van Taylor):

f(x)=de som van 0 tot oneindig a(n)x^n

Deze formule wordt:

a(n) = (f^n (0))/n!

En vervolgens deze:

f(x)= f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/2! + (f'''(0)x^3)/3! + ...

?

Alvast bedankt,
Renske

Renske
18-10-2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt het over drie formules:
(1) f(x)=de som van 0 tot oneindig a(n)x^n
(2) a(n) = (f^n (0))/n!
en (3) f(x)= f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/2! + (f'''(0)x^3)/3! + ...

Het is niet zo dat (2) uit (1) volgt en (3) uit (2).
Je moet het eigenlijk lezen als:

f(x)=de som voor n van 0 tot oneindig van a(n).xⁿ
waarbij de coëfficiënten van xⁿ definieerd zijn: a(n)=(f⁽ⁿ⁾ (0))/n! .
(Let erop dat fⁿ(x) en f⁽ⁿ⁾(x) twee verschillende dingen zijn, het eerste is de n-de macht van f en het tweede stelt de n-de afgeleide van f(x) voor.)

Formule (3) is eigenlijk niks anders dat dit uitgeschreven voor de eerste 3 termen...

Dit is eigenlijk een bijzonder geval van de reeksontwikkeling van Taylor, namelijk in het punt x=0. Dit wordt ook de McLaurin-reeksontwikkeling genoemd.

Groetjes,

Johan

andros
18-10-2002