WisFaq!

Omgekeerde stelling van Desargues en Pascal

De laatste 2 regels van de volgende redenering snap ik niet:

Stel P,Q,R zijn collineair. O is het snijpunt van AA' en BB'.
De driehoeken AQA' en BPB' zijn nu puntpersectief, waaruit volgt, dat O,C,C' collineair zijn.

Zie http://www.pandd.demon.nl/transvers.htm#74

En dan nog twee vragen: hoe bewijs je de omgekeerde stelling van Pascal (m.b.t. cirkels) en welke andere stellingen m.b.t. collineaire punten zijn er?

Michiel
18-10-2002

Antwoord

Tja, in het door jou bedoelde stukje tekst staat een foutje.
De tekst moet luiden (*):
Stel P, Q, R zijn collineair. Zij O het snijpunt van BB' en CC'.
We moeten nu laten zien, dat AA' ook door O gaat.
De driehoeken APA' en BQB' zijn puntperspectief met P als perspectiefpunt, immers de lijnen AB, PQ, A'B' gaan door P.
Volgens (deel 1 van) de stelling van Desargues zijn dan de snijpunten van AQ en BP (=A), AA' en BB' (=O) QA' en PB' (=A') collineair.
O ligt dus op AA'.

Ik hoop dat het hierdoor duidelijker is.

Een bewijs van de omgekeerde stelling van Pascal voor cirkels is niet te geven (omdat die cirkel een bijzonder geval is van een kegelsnede). Je zou die omgekeerde stelling wel als volgt kunnen formuleren:"Liggen van een zeshoek vijf hoekpunten op een cirkel en zijn de snijpunten van de overstaande zijden collineair, dan ligt ook het zesde hoekpunt op die cirkel".

Al eerder zijn vragen over "collineaire punten" gesteld.
Zoek eens naar "collineair" binnen WisFaq.

(*) De auteur van de bedoelde website zal eea. wel in deze zin aanpassen.
Namens hem bedankt!

dk
21-10-2002