WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Dag Wisfaq team,

Ik ben weer wat bezig met differentiaalvergelijkingen en stuit in mijn berekeningen op moeilijkheden.
(x-2y+3)dy+(x+2y-1)dx=0 is de opgave
Het resultaat moet zijn: x²+xy-y²-x+3y=0
Ik heb als volgt gewerkt:
dy/dx=-(2x+y-1)/(x-2y+3) (1)
stel nu : x=x1+k en y=y1+h en invullen in (1) geeft
dy/dx=-(2(x1+k)+(y1+h)+3))/((x1+k(-2(y1+h)+3))
dy/dx= -(2x1+y1+2k+h-1)/(x1-2y1+k-2h+3)(2)
oplossen van stelsel met k en h levert:
2k+h-1=0 en k-2h+3=0 geeft k=-1/5 en h=7/5
(2) wordt nu:
dy1/dx1=-(2x1+y1)/x1-2y1) (3)
stel nu y1=ux1 en differentiaal dy1=udx1+x1du
Invullen in (3):
udx1/dx1+x1du/dx1=-(2x1+ux1)/x1-2ux1)
x1du/dx1=-((2+u)/(1-2u))-u
x1du/dx1=(-2-u-u+2u²)/1-2u
Scheiding variabelen geeft nu met integraal:
ò(1-2u)/(2u²-2u-2)=òdx1/x1
1/2ò(-d(u²-u-1))/(u²-u-1)= dx1/x1
ln|u²-u-1|^-1/2=lnx1+lnC
1/Ö(u²-u-1)=Cx1
Nu vervangen van u=y1/x1 en afwerken kom ik niet tot de gewenste oplossing....
1/Ö(y1²/x1²-y1/x1-1)= Cx1
of x1/Ö(y1²-x1.y1-x²)=Cx1
Weglaten van x1 in beide leden levert samen met de de formules van x1=x+1/5 en y1=y-7/5
een veelterm die niet de gewenste oplossing biedt!
Wat doe ik verkeerd??
1/Ö((y-7/5)²-(x+1/5)(y-7/5)-(x+1/5)=C
Hier loopt het dus mis...
Vriendelijke groeten

Lemmens Rik
2-1-2007

Antwoord

Beste Rik,

Je geeft je opgave door als:

(x-2y+3)dy+(x+2y-1)dx = 0

Maar herschrijft dan als volgt:

dy/dx = -(2x+y-1)/(x-2y+3)

Daar gaat iets mis?

mvg,
Tom

td
2-1-2007